式(6.38)で表されるカルマンフィルタには $\{dy(t)-H(t)\hat{x}(t)dt\}$ 、式(6.26)で表されるクスナー方程式には $\{dy(t)-\hat{h}(t,x)dt\}$ という観測データによる修正項があります。教科書ではこれらの項がどんな意味を持つかを解説しています。

まず、

d\nu(t) = dy(t)-H(t)\hat{x}(t|t)dt, \quad \nu(t_0)=0 \tag{6.40}

によって定義される線形過程について考えてみます。この解は以下のようになります。

\begin{aligned} \nu(t) &= \nu(s) + \int_s^t dy(\tau) - \int_s^t H(\tau)\hat{x}(t|t) d\tau \\ &= \nu(s) + \int_s^t H(\tau)x(\tau) d\tau + \int_s^t R(\tau)dv(\tau) - \int_s^t H(\tau)\hat{x}(t|t) d\tau \\ &= \nu(s) + \int_s^t H(\tau)[x(\tau) - \hat{x}(\tau)] d\tau + \int_s^t R(\tau)dv(\tau) \tag{6.41}\\ \end{aligned}

ここで $\mathcal{E}\{\cdot|\mathcal{Y}_s\} = \mathcal{E}\{\mathcal{E}\{\cdot|\mathcal{Y}_\tau\}|\mathcal{Y}_s\} \: (s < \tau)$ を利用して

\begin{aligned} \mathcal{E}\{\nu(t)|\mathcal{Y}_s\} &= \nu(s) + \int_s^t H(\tau)\mathcal{E}\{\mathcal{E}\{x(\tau)-\hat{x}(\tau)|\mathcal{Y}_\tau\} | \mathcal{Y}_s\} d\tau \\ &= \nu(s) + \int_s^t H(\tau)\mathcal{E}\{0|\mathcal{Y}_\tau\} | \mathcal{Y}_s\} d\tau \\ &= \nu(s) \end{aligned}

となるので、 $\nu(t)$ 過程は $\mathcal{Y}_t$ に対してマルチンゲールであることがわかります。さらに

\begin{aligned} \mathcal{E}\{d\nu(t)\} &= \mathcal{E}\{ \mathcal{E}\{ d\nu(t)|\mathcal{Y}_t\} \} \\ &= \mathcal{E}\{ \mathcal{E}\{ H(t)[x(t)-\hat{x}(t|t)]dt + R(t)dv(t)|\mathcal{Y}_t\} \} \\ &= 0 \end{aligned}

\mathcal{E}\{d\nu(t)[d\nu(t)]^T\} = R(T)R^T(t)dt

が成り立ちます。

さらに、 $\nu(t)$ 過程は正規性過程になるので、結局式(6.40)で定義される $\nu(t)$ 過程は共分散マトリクス $R(t)R^T(t)$ を持つウィーナ過程ということになります。この結果から式(6.38)のカルマン方程式は以下のような伊藤確率微分方程式に書き換えることができます。

d\hat{x}(t|t) = A(t)\hat{x}(t)dt+K(t)d\nu(t) \tag{6.45}

K(t) = P(t|t)H^T(t)\{R(t)R^T(t)\}^{-1}

この $\nu(t)$ 過程は、ウィーナ過程であるにも関わらず、式(6.41)で書かれている通りその中には観測情報 $y(t)$ が入っています。このような過程をイノベーション過程と呼びます。イノベーション過程の重要性は、それが観測過程と等価であることです。

やること

これまでのBotter自主ゼミノート

6.5 イノベーション過程

カルマンフィルタの修正項の意味

Discussion