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Botter自主ゼミノート 3.4 自乗平均微分

2023/01/08に公開

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やること

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を読んで、確率微分方程式による最適化問題を解けるようになることです。

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3.4 自乗平均微分

自乗平均微分の定義

自乗平均連続の概念から、確率過程の微分に関する概念が得られます。

二次確率過程 $\{x(t), t \in T\}$ は、 $t$ において、以下の極限値が存在するならば、自乗平均微分可能といいます。そして、その極限値 $\dot{x}(t)$ を二乗平均微分値といいます。

\underset{h \to 0}{\text{l.i.m.}}\:\frac{x(t+h) - x(t)}{h} = \frac{dx(t)}{dt} = \dot{x}(t) \tag{3.17}

二乗平均微分可能ならその確率過程は二乗平均連続ですが、その逆は必ずしも成り立たないと教科書にはあります。

定理 3.2 自乗平均微分可能性の判定定理

$x(t)$ が $t \in T$ において自乗平均微分可能であるための必要十分条件は、自己相関関数 $\psi(t, \tau)$ の二階偏微分値 $\frac{\partial^2 \psi(t, \tau)}{\partial t \partial \tau}$ が $(t, t)$ において存在することと教科書にはあります。

証明: 式(3.10)で示されたコーシーの収束判定規範より

\mathcal{E}\left\{\left| \frac{x(t+h)-x(t)}{h} - \frac{x(t+h')-x(t)}{h'}\right|^2 \right\} \to 0 \quad (h, h' \to 0) \tag{3.18}

が言えれば、 $x(t)$ は自乗平均微分可能と言えます。

式(3.18)を展開すると以下のようになります。

\mathcal{E} \left\{\left(\frac{x(t+h)-x(t)}{h}\right)^2 - 2\cdot\frac{x(t+h)-x(t)}{h} \frac{x(t+h')-x(t)}{h'} + \left(\frac{x(t+h')-x(t)}{h'}\right)^2 \right\}

教科書では、(おそらく上記の展開後の第一項と第三項は $0$ に収束するものとして)展開後の第二項に着目して以下のような変形を行い、 $\frac{\partial^2 \psi(t, \tau)}{\partial t \partial \tau}$ が存在するなら式(3.18)は $0$ に収束するので、自乗微分可能だと言える、としています。

\begin{aligned} & \mathcal{E}\left\{ \frac{x(t+h)-x(t)}{h} \frac{x(t+h')-x(t)}{h'} \right\} \\ &= \frac{1}{h h'} \mathcal{E}\{x(t+h)x(t+h') - x(t)x(t+h) - x(t)x(t+h') + x^2(t)\} \\ &= \frac{1}{h h'} \{[\psi(t+h, t+h') - \psi(t+h, t)] - [\psi(t, t+h') - \psi(t, t)]\}\\ &\to \frac{\partial \psi(t, t)}{\partial t \partial \tau} \quad (h, h' \to 0) \tag{3.19} \end{aligned}

さらに、教科書では式(3.19)を、 $\S$ 3.2の(3)の性質を使って変形し、式(3.20)を得ています。

\begin{aligned} \lim_{h, h' \to 0} \mathcal{E}\left\{ \frac{x(t+h)-x(t)}{h} \frac{x(t+h')-x(t)}{h'} \right\} = \mathcal{E}\{\dot{x}(t) \dot{x}(t)\} \tag{3.20} \end{aligned}

式(3.19)と式(3.20)から、 $\dot{x}(t)$ が存在するとき、 $\frac{\partial^2 \psi(t, \tau)}{\partial t \partial \tau}$ も存在することは明らかです。

自乗平均微分の性質

$x(t)$ が $t \in T$ において自乗平均微分可能なら、 $x(t)$ は $t$ において自乗平均連続
自乗平均微分 $\dot{x}(t)$ が $t \in T$ において存在するなら、それは唯一のものです。これは、 $\S$ 3.2で書かれていた自乗平均収束の唯一性から明らかです
$x(t), y(t)$ がそれぞれ $t \in T$ において自乗平均微分可能なら、その線形和 $ax(t)+by(t)$ の自乗平均微分値も $t$ において存在し、それは $a, b$ を定数とすると、以下のようになります。

\frac{d}{dt}[ax(t)+by(t)] = a\dot{x}(t) + b\dot{t}(t) \tag{3.21}

$a(t)$ を確定関数、 $x(t)$ を自乗微分可能な二次確率過程とすると、 $a(t)x(t)$ は自乗平均微分可能で、その値は以下のようになります。

\frac{d}{dt}[a(t)x(t)] = \dot{a}(t)x(t)+a(t)\dot{x}(t) \tag{3.22}

$x(t)$ が $t \in T$ において $n$ 回自乗平均微分可能なら、これらの自乗平均微分値の期待値が存在し、それは以下のようになります。

\mathcal{E}\left\{ \frac{d^n x(t)}{dt^n} \right\} = \frac{d^n}{dt^n}\mathcal{E}\{x(t)\} \tag{3.23}

$x(t)$ が弱定常の場合は、平均値 $\mathcal{E}\{x(t)\}$ が定数なので、 $\mathcal{E} \left\{ \frac{d^n x(t)}{d t^n} \right\} = 0$ となります。

$x(t)$ が $t \in T$ において $n$ 回自乗平均微分可能なら、以下の式(3.25)が成立します。ただし、 $x^{(n)}(t) := \frac{d^n x(t)}{dt^n}$ とします。

\mathcal{E}\{x^{(n)}(t)x^{(m)}(s)\} = \frac{\partial^{n+m} \psi(t,s)}{\partial t^n \partial s^m} \tag{3.25}