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Botter自主ゼミノート 3.3 確率過程の連続性

2023/01/04に公開

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確率過程

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を読んで、確率微分方程式による最適化問題を解けるようになることです。

これまでのBotter自主ゼミノート

3.3 確率過程の連続性

三種類の確率過程の連続性

3.2で読んだ確率変数列の収束の概念は、確率過程に対して拡張することができます。

$\{x(t,\omega), t\in T, \omega \in \Omega\}$ をスカラー二次確率過程とします。このとき、シュヴァルツの不等式により、 $\mathcal{E}\{|x|\} \le \sqrt{\mathcal{E}\{|x|^2\}} < \infty$ であるので、平均値 $m(t) = \mathcal{E}\{x(t,\omega)\}$ の存在は保証されます。同様にして自己相関関数 $\psi(t,\tau) = \mathcal{E}\{x(t,\omega)\:x(\tau,\omega)\}$ の存在も保証されます。

確率変数 $x$ はスカラー二次確率過程なので、二次モーメントは有界であることが確定しています。二次モーメントは自己相関関数をすべての時間差 $\tau$ について積分したものであるので、二次モーメントが存在するということは、自己相関関数の存在も確定する…ということ？

また、シュヴァルツの不等式から確率分布自体も有界であることがわかるので、平均値の存在が確定するする…ということ？

極限を考えるときは本当にその値について考えることに意味があるのかどうかを厳密に考えないといけないんですね。このあたりが腑に落ちていると、基礎に不安を持つことなく先に進めそうなんだけど、今はそうなっていないです。

確率過程${x(t)}は

すべての $t$ に対して、

\lim_{h \to 0} \mathcal{E}\{\|x(t+h)-x(t)|^2\} = 0 \tag{3.11}

が成り立つなら、自乗平均連続であるといいます。

式(3.11)は以下のように表記することもあります。

\underset{h \to 0}{\text{l.i.m.}}\:x(t+h) = x(t) \tag{3.14}

すべての $t$ と $\epsilon > 0$ に対して、

\lim_{h \to 0} \Pr\{|x(t+h)-x(t)| > \epsilon\} = 0 \tag{3.12}

が成り立つなら、確率連続であるといいます。

すべての $t$ に対して、

\Pr\left\{ \lim_{h \to 0} x(t+h) = x(t)\right\} = 1 \tag{3.13}

ならば、確率 $1$ で連続といいます。

チェビシェフの不等式を用いると、 $\epsilon > 0$ のとき

\Pr\{|x(t+h)-x(t)| > \epsilon \} \le \frac{1}{\epsilon^2}\mathcal{E}\{|x(t+h)=x(t)|^2\} \tag{3.15}

となり、両辺を $h \to 0$ で極限を取ると、確率過程 $x(t)$ が自乗平均連続ならば右辺は0となり、結果として確率連続の定義そのものとなり、確率連続であることが確定します。

ウィーナ過程の定義である式(2.55)から、

\mathcal{E}\{|w(t+h)-w(t)|^2\} = \sigma^2\:h \to 0 \: (h \to 0) \tag{3.16}

が成立し、ウィーナ過程が自乗平均連続 (かつ、確率連続) であることがわかります。

定理 3.1 自乗平均連続の判定定理

二次確率過程 $\{x(t), t \in T\}$ は、その自己相関関数 $\psi(t, \tau)$ が $(t, t)$ において連続であるとき、かつそのときに限り $t$ において自乗平均連続となります。

証明 : $\psi(t, \tau)$ が $(t, t)$ において連続ならば、その時

\begin{aligned} \mathcal{E}\{|x(t+h) - x(t)|^2\} &= \psi(t+h, t+h) - \psi(t, t+h) - \psi(t+h, t) + \psi(t, t) \\ &= [\psi(t+h,t+h)-\psi(t,t)] - [\psi(t+h,t)-\psi(t,t)] - [\psi(t,t+h)-\psi(t,t)] \to 0 \: (h \to 0) \end{aligned}

となります。

逆に、 $x(t)$ が $t$ において自乗平均連続であるなら

\begin{aligned} \psi(t+h, t+h') - \psi(t,t) &= \mathcal{E}\{x(t+h)x(t+h')\}-\mathcal{E}\{x^2(t)\} \\ &= \mathcal{E}\{[x(t+h)-x(t)]x(t+h')\} + \mathcal{E}\{x(t)[x(t+h')-x(t)\} \end{aligned}

となるので、シュヴァルツの不等式を適応すると、

|\psi(t+h,t+h')-\psi(t,t)| \le \sqrt{ \mathcal{E}\{|x(t+h)-x(t)|^2\} \mathcal{E}\{|x(t+h')|^2\}} + \sqrt{\mathcal{E}\{|x(t)|^2\} \mathcal{e}\{|x(t+h')-x(t)|^2\}} \to 0 \quad (h,h' \to 0)

となるため、 $\psi(t, \tau)$ は $(t,t)$ において連続となります。

また、二次確率過程 $\{x(t)\}$ が弱定常ならば、

\psi(\tau) = \psi(t, s) = \psi(t - s) \quad (\tau = |t-s|)

が $\tau = 0$ で連続である時、かつそのときに限り $x(t)$ は自乗平均連続となります。