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Botter自主ゼミノート 2.6 確率過程の周波数表現

2022/11/25に公開約6,500字

やること

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を読んで、確率微分方程式による最適化問題を解けるようになることです。

これまでのBotter自主ゼミノート

Botter自主ゼミノート 1.2 確定システムの制御の回顧
Botter自主ゼミノート 2.1 確率過程とは?, 2.2 確率過程の数学的表現
Botter自主ゼミノート 1.2 数式導出
Botter自主ゼミノート 2.3 確率モーメント
Botter自主ゼミノート 2.4 確率過程の分類
Botter自主ゼミノート 2.5 エルゴード性

2.6 確率過程の周波数表現

スカラー弱定常過程\{x(t), t \in T\}の相関関数\psi(\tau)の性質

これは教科書の中でも証明はされておらず、性質として紹介されているだけ。

  1. \psi(\tau)は偶関数。つまり
\psi(\tau) = \psi(-\tau) \tag{2.27}
  1. \psi(\tau)は有界。つまり
|\psi(\tau)| \le \psi(0) \tag{2.28}
  1. \psi(\tau)\tau = 0で連続ならば、全ての\tauについても連続

  2. \psi(\tau)は非負定値関数。つまり、任意のt_1, t_2, \cdots , t_N \in Tをとるとき、任意の関数g(t)に対して

\sum_{j,k=1}^{N} \psi(t_k - t_k)g(t_k)g(t_j) \ge 0 \tag{2.29}

スカラー弱定常過程\{x(t), t \in (-\infty, \infty)\}のフーリエ変換

スカラー弱定常過程\{x(t) t \in (-\infty, \infty)\}のフーリエ変換と逆フーリエ変換は以下の通りになります

X(\lambda) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-j\lambda t} dt \quad (j = \sqrt{-1}) \tag{2.30}
x(t) = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} X(\lambda) e^{j \lambda t} d\lambda \tag{2.31}

エルゴード性を用いた\{x(t)\}の相関関数\psi(\tau)の周波数表現への変換

\begin{aligned} \psi(\tau) &= \mathcal{E}\{x(t+\tau)x(t)\} \\ &= \lim_{T \to \infty} \frac{1}{2T} \int_{-T}^{T} x(t+\tau)x(t) dt\\ &= \lim_{T \to \infty} \frac{1}{2T} \int_{-T}^{T} \left[ \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} X(\lambda) e^{j \lambda (t+\tau)} d\lambda \right] x(t) dt \\ \end{aligned}
= \frac{1}{2\pi} \lim_{T \to \infty} \frac{1}{2T} \int_{-T}^{T} \int_{-\infty}^{\infty} X(\lambda) e^{j \lambda t} e^{j \lambda \tau} x(t) d\lambda dt
= \frac{1}{2\pi} \lim_{T \to \infty} \frac{1}{2T} \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-T}^{T} X(\lambda) e^{j \lambda \tau} x(t) e^{j \lambda t} dt d\lambda
= \frac{1}{2\pi} \lim_{T \to \infty} \frac{1}{2T} \int_{-\infty}^{\infty} X(\lambda) e^{j \lambda \tau} \int_{-T}^{T} x(t) e^{j \lambda t} dt d\lambda
= \frac{1}{2\pi} \lim_{T \to \infty} \frac{1}{2T} \int_{-\infty}^{\infty} X(\lambda) e^{j \lambda \tau} \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{j \lambda t} dt d\lambda
= \frac{1}{2\pi} \lim_{T \to \infty} \frac{1}{2T} \int_{-\infty}^{\infty} X(\lambda) e^{j \lambda \tau} X^* (\lambda) d\lambda
= \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \left[ \lim_{T \to \infty} \frac{|X(\lambda)|^2}{2T} \right] e^{j \lambda \tau} d\lambda \tag{2.32}

弱定常過程\{x(t)\}のパワースペクトル密度関数

\tau=0の時、\psi(0)=\mathcal{E}\{x(t)x(t+0)\}=\mathcal{E}\{x^2(t)\}は確率過程\{x(t)\}の強さ (パワー) をあらわします。

また、以下のような積分表現を用いると、S(\lambda)はパワーの周波数\lambdaに対するスペクトル密度関数となります。

\psi(0) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} S(\lambda) d\lambda

式(2.32)は\psi(\tau)を周波数表現したものであるので、これに\tau = 0を代入すると右辺は確率過程\{x(t)\}の強さ (パワー) の周波数表現となります。

\begin{aligned} \psi(0) &= \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \left[ \lim_{T \to \infty} \frac{|X(\lambda)|^2}{2T} \right] e^{0} d\lambda \\ &= \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \lim_{T \to \infty} \frac{|X(\lambda)|^2}{2T} d\lambda \tag{2.33} \end{aligned}

これらのことから、密度関数S(\lambda)は以下の通りであることがわかります。

S(\lambda) = \lim_{T \to \infty} \frac{|X(\lambda)|^2}{2T}

このS(\lambda)を用いて式(2.32)を書き直すと以下のように書くことができます。

\psi(\tau) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} S(\lambda) e^{j \lambda \tau} d\lambda \tag{2.34}

式(2.34)は逆フーリエ変換の形になっているので、以下の式も成立します。

S(\lambda) = \int_{-\infty}^{\infty} \psi(\tau) e^{-j \lambda \tau} d\tau \tag{2.35}

自己相関関数psi(\tau)のフーリエ変換で式(2.35)のようにして得られるS(\lambda)を、弱定常過程\{x(t)\}のパワースペクトル密度関数と定義します。

ウィーナ・ヒンチン公式

式(2.34)と式(2.35)は互いにフーリエ変換とその逆変換の関係にあります。これらをウィーナ・ヒンチン公式と呼びます。

関数S(\lambda)は式(2.33)から実数で非負であり、また相関関数\psi(\tau)\tauに対して偶関数であるので、ウィーナ・ヒンチン公式は以下のようにも書くことができます。以下の式からS(\lambda)も偶関数であることがわかります。

\left. \begin{aligned} S(\lambda) = 2 \int_{0}^{\infty} \psi(\tau)cos \lambda\tau d\tau\\ \psi(\tau) = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\infty} S(\lambda) cos\lambda\tau d\tau \end{aligned} \right\} \tag{2.36}

式(2.35)によって計算されるパワースペクトル密度S(\lambda)を調べることによって、確率過程がどのような周波数成分を含んでいるかを調べることができます。

相互パワースペクトル密度関数

弱定常スカラー確率過程x(t)y(t)の相互相関関数をr_{xy}(\tau)とするとき、相互パワースペクトル密度関数S_{xy}(\lambda)は以下のようになります。

S_{xy}(\lambda) = \int_{-\infty}^{\infty} r_{xy}(\tau)e^{-j\lambda\tau} d\tau \tag{2.37}

この関数は一般に複素関数で、r_{xy}(\tau) = r_{yx}(-\tau)であることを考えると以下の式が成立します。

S_{xy}(\lambda) = S^{*}_{yx} (\lambda) \tag{2.38}

非定常確率過程のパワースペクトル密度関数

確率過程\{x(t)\}が非定常である時、t_1 = t - \frac{\tau}{2}. t_2 = t + \frac{\tau}{2}とすれば、\psi(t, \tau)は以下のようになります

\psi(t, \tau) = \mathcal{E} \left\{ x \left( t - \frac{\tau}{2} \right) x \left(t + \frac{\tau}{2} \right) \right\} \tag{2.39}

この\psi(t, \tau)のフーリエ変換をすることで、非定常過程のパワースペクトル密度 (非定常パワースペクトル関数) を得ることができます。

S(t, \lambda) = \int_{-\infty}^{\infty} \psi(t, \tau) e^{-j \lambda \tau} d \tau \tag{2.40}

Discussion

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