📔

Botter自主ゼミノート 4.5 拡散過程

2023/01/31に公開

仮想通貨

確率過程

tech

やること

https://www.amazon.co.jp/dp/4254209444
を読んで、確率微分方程式による最適化問題を解けるようになることです。

これまでのBotter自主ゼミノート

4.5 拡散過程

マルコフ拡散過程の定義

現実の多くの不規則過程は、その状態量 $x(t)$ が時間の経過と共に空間的に不規則に広がっていくので、拡散過程 (diffusion process) と呼ばれることが多いのだそうです。この節ではこの拡散過程についてあれこれと書かれています。

以下の三つの条件が成立するとき、その確率過程はマルコフ拡散過程と呼ぶそうです。

以下の式が任意の $\epsilon > 0$ に対して成立する。この式は、 $|y-x|>\epsilon$ となる確率が $t-s$ のオーダーよりも小さいことを意味しています。つまり、微小時間での $x(t, \omega)$ が $x(s, \omega) = x$ から大きな変化を起こさないことを意味しています。

\lim_{t \to s} \frac{1}{t-s} \int_{|y-x| > \epsilon} p(t, y|s, x)dy = 0 \tag{4.35}

以下の式が極限値を持つ。 $x(t, \omega)$ に微小時間内の平均値が存在することを意味しています。

\lim_{t \to s} \frac{1}{t-s} \int_{-\infty}^{\infty} (y-x)p(t,y|s,x)dy = m(s,x) \tag{4.36}

以下の式が極限値を持つ。 $x(t, \omega)$ に微小時間内の分散が存在することを意味しています。

\lim_{t \to s} \frac{1}{t-s} \int_{-\infty}^{\infty} (y-x)^2p(t,y|s,x)dy = \sigma^2(s,x) \tag{4.37}

さらに、関数 $m(x, \omega)$ を偏移係数 (drift coefficient)、 $\sigma(s, x)$ を拡散係数 (diffusion coefficient)と呼ぶそうです。

マルコフ拡散過程の時間進化

$x(t, \omega)$ の微小時間における進化を考えてみます。

\Delta_h x(t) := x(t+h)-x(t) \quad (h > 0)

とすると、式(4.36)と式(4.37)はそれぞれ

\mathcal{E}\{\Delta_h x(t)|x(t) = x\} = m(t, x)h + o(h) \tag{4.38}

\mathcal{E}\{|\Delta_h x(t)|^2|x(t) = x\} = \sigma^2(t, x)h + o(h) \tag{4.39}

と書けるので、 $x(t)$ の時間変化は $o(h)$ の項を無視すると、以下のように表記できます。

\Delta_h x(t) \simeq m(t, x(t))h + \sigma(t, x(t))\xi(t)

この時、 $\xi(t)$ は分散1の確率変数で、 $[\sigma(t,x)\xi(t)]^2$ が時間 $h$ のオーダーに等しく、また平均が0でなければならないことから、ウィーナ過程 $\Delta w(t)$ と同じ確率的性質を持っています。そこで、 $\xi(t)$ を $\Delta w(t)$ で置き換えると

\Delta_h x(t) \simeq m(t, x(t))h + \sigma(t, x(t))\Delta w(t) \tag{4.40}

となり、 $h \to 0$ とすると、4.1節で与えられた確率微分方程式と同じ形になります。

式(4.40)が拡散過程であることの確認

式(4.40)が式(4.35)を満たすことを確認します。

まず、式(4.35)は以下の形式でも書くことができます。この式をディンキン条件といい、 $x(t)$ が拡散過程となるかどうかを調べる条件式です。

\lim_{h \to 0} \frac{1}{h}\Pr\{|\Delta_h x(t)| > \epsilon | x(t) = x\} = 0 \tag{4.41}

このとき、マルコフの不等式に基づいて、以下の式が成り立ちます。

\lim_{h \to 0} \frac{1}{h}\Pr\{|\Delta_h x(t)| > \epsilon | x(t) = x\} \le \frac{1}{h\epsilon^p}\mathcal{E}\{|\Delta_h x(t)|^p|x(t) = x\} \tag{4.42}

そこで、ディンキン条件に代わって以下の式(4.42)が成立するかで式(4.40)が拡散過程であることを確認します。

\lim_{h \to 0} \frac{1}{h}\mathcal{E}\{|\Delta_h x(t)|^p | x(t) = x\} = 0 \quad (p > 2) \tag{4.42}

$p$ の値はどれでも一つ成立すればよいので、わかりやすい $p = 4$ を選択すると

\begin{aligned} \frac{1}{h}\mathcal{E}\{|\Delta_h x(t)|^4 | x(t) = x\} &= \frac{1}{h}\mathcal{E}\{|m(t, x) + \sigma(t, x)\Delta w(t)|^4 | x(t) = x\} \\ &= \frac{1}{h} o(h^2) \\ &= o(h) \\ &= 0 \quad (h \to 0) \\ \end{aligned}

となり、式(4.42)が成立するため、式(4.40)は拡散過程であることがわかります。