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Botter自主ゼミノート 4.2 確率積分例題4.1

2023/01/19に公開

やること

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を読んで、確率微分方程式による最適化問題を解けるようになることです。

次の伊藤積分を計算します。

\int_{t_0}^t w(\tau, \omega) dw(\tau, \omega)

式(4.10)から、 $w_i = w(\tau_i, \omega), \tau_N = t$ とすると

\begin{aligned} \int_{t_0}^t w(\tau, \omega) dw(\tau, \omega) &= \underset{N \to \infty}{\text{l.i.m.}}\:\sum_{i=0}^{N-1} w(\tau_i, \omega)[w(\tau_{i+1}, \omega)-w(\tau, \omega)] \\ &= \underset{N \to \infty}{\text{l.i.m.}}\:\sum_{i=0}^{N-1} \left( \frac{w_i + w_{i+1}}{2} + \frac{w_i - w_{i+1}}{2} \right) (w_{i+1}-w_i) \\ &= \underset{N \to \infty}{\text{l.i.m.}}\:\sum_{i=0}^{N-1} \left( \frac{w_i w_{i+1} - w_i^2 + w_{i+1}^2 - w_i w_{i+1}}{2} + \frac{w_i w_{i+1} - w_i^2 - w_{i+1}^2 + w_i w_{i+1}}{2} \right)\\ &= \underset{N \to \infty}{\text{l.i.m.}}\:\sum_{i=0}^{N-1} \left( \frac{w_{i+1}^2 - w_i^2}{2} + \frac{w_i w_{i+1} - w_i w_{i+1} + w_i w_{i+1} - w_i^2 - w_{i+1}^2 + w_i w_{i+1}}{2} \right)\\ &= \underset{N \to \infty}{\text{l.i.m.}}\:\sum_{i=0}^{N-1} \left( \frac{w_{i+1}^2 - w_i^2}{2} + \frac{- w_i^2 + 2 w_i w_{i+1} - w_{i+1}^2}{2} \right)\\ &= \underset{N \to \infty}{\text{l.i.m.}}\:\sum_{i=0}^{N-1} \left( \frac{w_{i+1}^2 - w_i^2}{2} - \frac{(w_i - w_{i+1})^2}{2} \right)\\ &= \frac{1}{2}({w_{N}^2 - w_0^2}) - \frac{1}{2}\underset{N \to \infty}{\text{l.i.m.}}\:\sum_{i=0}^{N-1} (w_i - w_{i+1})^2\\ \end{aligned}

ここで最終行の第二項は、 $\mathcal{E}\{dw(\tau, \omega)\} = \sigma^2 d\tau$ であることを利用すると、 $\sigma^2(t - t_0)$ となり、結果として、伊藤積分の結果は以下のような値となります。

\int_{t_0}^t w(\tau, \omega) dw(\tau, \omega) = \frac{1}{2} \left[ w^2(t, \omega) - w^2(t_0, \omega) \right] - \frac{1}{2} \sigma^2 (t - t_0) \tag{4.17}

ここで、式(4.17)を $x(t)$ としたとき、 $x(s)$ を実現値としたときの $x(t)$ との差分 $(t > s)$ を考えると

\begin{aligned} \mathcal{E}\{x(t)-x(s)\} &= \mathcal{E} \left\{ \frac{1}{2} \left[ \left[ w^2(t, \omega) - w^2(t_0, \omega) \right] - \sigma^2 (t - t_0) \right] - \frac{1}{2} \left[ \left[ w^2(s, \omega) - w^2(t_0, \omega) \right] - \sigma^2 (s - t_0) \right] \right\} \\ &= \mathcal{E} \left\{ \frac{1}{2} \left[w^2(t, \omega) - w^2(t_0, \omega) - \sigma^2 (t - t_0) - w^2(s, \omega) + w^2(t_0, \omega) + \sigma^2 (s - t_0) \right] \right\} \\ &= \mathcal{E} \left\{ \frac{1}{2} \left[w^2(t, \omega) - w^2(s, \omega) - \sigma^2 (t - s) \right] \right\} \\ &= \frac{1}{2} \left[\sigma^2 (t - s) - \sigma^2 (t - s) \right] \\ &= 0 \end{aligned}

となり、 $x(t)$ の平均値は実現値 $x(s)$ に帰することがわかり、 $x(t)$ はマルチンゲールであることがわかります。