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Botter自主ゼミノート 3.5 自乗平均積分

2023/01/08に公開約3,400字

やること

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を読んで、確率微分方程式による最適化問題を解けるようになることです。

これまでのBotter自主ゼミノート

Botter自主ゼミノート 1.2 確定システムの制御の回顧
Botter自主ゼミノート 2.1 確率過程とは?, 2.2 確率過程の数学的表現
Botter自主ゼミノート 1.2 数式導出
Botter自主ゼミノート 2.3 確率モーメント
Botter自主ゼミノート 2.4 確率過程の分類
Botter自主ゼミノート 2.5 エルゴード性
Botter自主ゼミノート 2.6 確率過程の周波数表現
Botter自主ゼミノート 2.7 マルコフ過程
Botter自主ゼミノート 2.8 正規型確率過程
Botter自主ゼミノート 2.9 ウィーナ過程(1)
Botter自主ゼミノート 2.9 ウィーナ過程(2)
Botter自主ゼミノート 2.10 白色雑音
Botter自主ゼミノート 3.1, 3.2 確率変数列の収束
Botter自主ゼミノート 3.3 確率過程の連続性
Botter自主ゼミノート 3.4 自乗平均微分

3.4 自乗平均積分

自乗平均積分の定義

時間区間[0, t]N分割し、0 = t_0 < t_1 < t_2 < \cdots < t_N = t, \delta_N = max_k (t_k - t_{k-1})とします。x(t)を二次確率過程、g(\cdot)を確定関数、さらに\tau_k \in [t_{k-1}, t_k)とすると、積分和

S_N = \sum_{k=1}^{N} g(\tau_k)x(\tau_k)(t_k - t_{k-1}) \tag{3.27}

は、その自乗平均収束値

\underset{N \to \infty, \delta_N \to 0}{\text{l.i.m.}}\:S_N = y(t) \tag{3.28}

が存在するとき、y(t)g(\tau)x(\tau)の自乗平均リーマン積分といい、それを

y(t) = \int_{0}^{t} g(\tau)x(\tau) \: d\tau \tag{3.29}

と表記します。

定理3.3 自乗平均積分値の存在

式(3.29)で定義される確率過程y(t)は、次のリーマン二重積分が存在するとき、かつその時に限り存在します。

\int_{0}^{t} \int_{0}^{t} g(\tau_1)g(\tau_2)\psi(\tau_1, \tau_2) d\tau_1 d\tau_2 \tag{3.30}

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教科書では証明はされていません。
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ウィーナ過程の自乗平均積分

分散パラメータ\sigma^2を持つウィーナ過程\{w(t), t \ge 0\}の積分

y(t) = \int_{0}^{t} w(s) ds \tag{3.31}

が自乗平均の意味で存在するかを教科書では調べています。

\int_{0}^{t} \int_{0}^{t} \mathcal{E}\{w(\tau_1)w(\tau_2)\} d\tau_1 d\tau_2 \tag{A}
\begin{aligned} &= \int_{0}^{t} \int_{0}^{t} \sigma^2 \text{min}(\tau_1, \tau_2) d\tau_1 d\tau_2 \\ &= \sigma^2 \int_{0}^{t} \left[ \int_{0}^{\tau_2} \tau_1 d\tau_1 + \int_{\tau_2}^{t} \tau_2 d\tau_1 \right] d\tau_2 \\ &= \sigma^2 \int_{0}^{t} \left[\frac{1}{2} \tau_1^2 \right]_{0}^{\tau_2} + \left[ \tau_2 \tau_1 \right]_{\tau_2}^{t} d\tau_2 \\ &= \sigma^2 \int_{0}^{t} \left( \frac{1}{2} \tau_2^2 - 0 \right) + \left( \tau_2 t - \tau_2^2 \right) d\tau_2 \\ &= \sigma^2 \int_{0}^{t} \tau_2 t - \frac{1}{2} \tau_2^2 d\tau_2 \\ &= \sigma^2 \left[ \frac{1}{2} t \tau_2^2 - \frac{1}{6} \tau_2^3 \right]_{0}^{t} \\ &= \sigma^2 \left( \frac{1}{2} t^3 - \frac{1}{6}t^3 \right) \\ &= \frac{1}{3} \sigma^2 t^3 < \infty \end{aligned}

定理3.3の二重積分が値を持つことが分かったので、ウィーナ過程の自乗平均積分は全てのt (< \infty)に対して存在することがわかりました。

Discussion

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