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Botter自主ゼミノート 3.5 自乗平均積分

2023/01/09に公開

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確率過程

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やること

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を読んで、確率微分方程式による最適化問題を解けるようになることです。

これまでのBotter自主ゼミノート

3.4 自乗平均積分

自乗平均積分の定義

時間区間 $[0, t]$ を $N$ 分割し、 $0 = t_0 < t_1 < t_2 < \cdots < t_N = t, \delta_N = max_k (t_k - t_{k-1})$ とします。 $x(t)$ を二次確率過程、 $g(\cdot)$ を確定関数、さらに $\tau_k \in [t_{k-1}, t_k)$ とすると、積分和

S_N = \sum_{k=1}^{N} g(\tau_k)x(\tau_k)(t_k - t_{k-1}) \tag{3.27}

は、その自乗平均収束値

\underset{N \to \infty, \delta_N \to 0}{\text{l.i.m.}}\:S_N = y(t) \tag{3.28}

が存在するとき、 $y(t)$ は $g(\tau)x(\tau)$ の自乗平均リーマン積分といい、それを

y(t) = \int_{0}^{t} g(\tau)x(\tau) \: d\tau \tag{3.29}

と表記します。

定理3.3 自乗平均積分値の存在

式(3.29)で定義される確率過程 $y(t)$ は、次のリーマン二重積分が存在するとき、かつその時に限り存在します。

\int_{0}^{t} \int_{0}^{t} g(\tau_1)g(\tau_2)\psi(\tau_1, \tau_2) d\tau_1 d\tau_2 \tag{3.30}

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教科書では証明はされていません。
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ウィーナ過程の自乗平均積分

分散パラメータ $\sigma^2$ を持つウィーナ過程 $\{w(t), t \ge 0\}$ の積分

y(t) = \int_{0}^{t} w(s) ds \tag{3.31}

が自乗平均の意味で存在するかを教科書では調べています。

\int_{0}^{t} \int_{0}^{t} \mathcal{E}\{w(\tau_1)w(\tau_2)\} d\tau_1 d\tau_2 \tag{A}

\begin{aligned} &= \int_{0}^{t} \int_{0}^{t} \sigma^2 \text{min}(\tau_1, \tau_2) d\tau_1 d\tau_2 \\ &= \sigma^2 \int_{0}^{t} \left[ \int_{0}^{\tau_2} \tau_1 d\tau_1 + \int_{\tau_2}^{t} \tau_2 d\tau_1 \right] d\tau_2 \\ &= \sigma^2 \int_{0}^{t} \left[\frac{1}{2} \tau_1^2 \right]_{0}^{\tau_2} + \left[ \tau_2 \tau_1 \right]_{\tau_2}^{t} d\tau_2 \\ &= \sigma^2 \int_{0}^{t} \left( \frac{1}{2} \tau_2^2 - 0 \right) + \left( \tau_2 t - \tau_2^2 \right) d\tau_2 \\ &= \sigma^2 \int_{0}^{t} \tau_2 t - \frac{1}{2} \tau_2^2 d\tau_2 \\ &= \sigma^2 \left[ \frac{1}{2} t \tau_2^2 - \frac{1}{6} \tau_2^3 \right]_{0}^{t} \\ &= \sigma^2 \left( \frac{1}{2} t^3 - \frac{1}{6}t^3 \right) \\ &= \frac{1}{3} \sigma^2 t^3 < \infty \end{aligned}

定理3.3の二重積分が値を持つことが分かったので、ウィーナ過程の自乗平均積分は全ての $t (< \infty)$ に対して存在することがわかりました。