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Botter自主ゼミノート 4.1 確率微分方程式とは？

2023/01/10に公開

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を読んで、確率微分方程式による最適化問題を解けるようになることです。

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4.1 確率微分方程式とは？

一般的な不規則雑音を含んだシステムの微分方程式

有限次元のシステムが不規則雑音による外乱を受けているとき、そのシステムの方程式は $x(t, \omega)$ を $n$ 次元状態量ベクトル、 $\gamma(t, \omega)$ を $d$ 次元のベクトル不規則雑音過程とすると、一般的に、そのシステムは以下のような式で表されます。

\frac{dx(t, \omega)}{dt} = f\left[t, x(t, \omega), \gamma(t, \omega) \right] \tag{4.1}

ここで、 $f(\cdot, \cdot, \cdot)$ は(非線形) $n$ 次元ベクトル値関数です。このようなシステムは不規則雑音 $\gamma(t, \omega)$ をその式に含むので、動的確率システム (stochastic dynamical system)と呼ばれ、 $\gamma(t, \omega)$ を不規則外力、あるいは不規則入力と呼びます。

式(4.1)の初期値は固定された値、あるいは何らかの分布を持つ確率変数 $x_0(\omega)$ でもよいです。

関数 $f$ と $\{\gamma(t, \omega)\}$ が適当な条件を満たすなら、積分 $\int_{0}^{t} \dot{x}(\tau, \omega) d\tau$ は存在し、式(4.1)から以下のような関係式が得られます。

x(t, \omega) - x(t_0, \omega) = \int_{t_0}^{t} f \left[ \tau, x(\tau, \omega), \gamma(\tau, \omega) \right] d\tau \tag{4.2}

ランジュヴァン方程式再び

教科書によると、式(4.1)の特別な場合として、次のような微分方程式をよく見かけるそうです。

\frac{dx(t, \omega)}{dt} = f[t, x(t, \omega)] + G[t, x(t, \omega)]\gamma(t, \omega), \quad x(t_0, \omega) = x_0(\omega) \tag{4.3}

式(4.3)は、動的システム $\dot{x}(t) = f[t, x(t)]$ に不規則雑音が加法的に加わった場合の表現で、この教科書では主にこのようなシステムを対象とするそうです。以降、 $\gamma(t, \omega)$ を加法的正規性白色雑音と予備、 $G(\cdot, \cdot)$ を $x \times d$ 次元マトリクス値関数、初期値 $x_0(\omega)$ は $\{\gamma(t, \omega)\}$ とは独立とします。

このようなシステムは $\S$ 2.9でブラウン運動からウィーナ過程を導出する際に出てきており、ランジュバン方程式と呼ばれます。

:::messages
$\gamma(t, \omega)$ の次元を $x(t, \omega)$ の次元に合わせるマトリクス $G$ も、 $x(t, \omega)$ にもとづいて変化していくんですねきっと。
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$\gamma(t, \omega)$ 過程は、式(2.72)で求めた通り、その自己相関関数は相対時間差 $\tau$ が $\tau = 0$ のとき無限大となり、その積分値は通常の意味では存在しません。そのため、式(4.3)の右辺第二項は (確率1で) 積分可能ではありません。教科書によると、これはつまり式(4.3)が数学的な意味を持たないということなのだそうです。

ここで、教科書では $\S$ 2.10の例2.2で示されている、

\gamma(t, \omega) \sim \frac{dw(t, \omega)}{dt}

という形式的な関係を利用して、式(4.3)を以下のように変形しています。

dx(t, \omega) = f[t, x(t, \omega)]dt + G[t, x(t, \omega)]dw(t, \omega) \tag{4.4}

教科書によると、式(4.4)は差分表現となっているので、以下の積分表現を数学的に定義できたとき初めて意味を持ちます。このとき、特に右辺第二項の積分が問題となりますので、次節ではそこを掘り下げて確率積分を定義していきます。

x(t, \omega) - x(t_0, \omega) = \int_{t_0}^{t} f[\tau, x(\tau, \omega)] d\tau + \int_{t_0}^{t} G[\tau, x(\tau, \omega)]dw(t, \omega) \tag{4.5}