Chapter 45無料公開

🍇 Matrixからオブジェクトの座標を取得する

このチャプターの目次

このチャプターでは、オブジェクトの座標を取得する方法を紹介します。

利用例 : オブジェクトに追従する座標空間

ワールド座標からオブジェクトの座標を減算することで、オブジェクトに追従する座標空間を作ることができます。

以下は座標空間のXYZ成分をRGBカラーとして可視化したものになります。

オブジェクトに追従し、オブジェクトの回転やスケールの影響を受けない座標空間を作ることができます。

モデルの回転やスケールの影響を受けない液体表現を作ることができます。
モデルを動かしても液体が破綻しません。

Transformation Matrix (Model) から列成分　M3 を見ると、オブジェクトの座標が取れます。　

World Space からオブジェクト座標を減算することで、オブジェクトに追従する座標空間を作ることができます。

オブジェクトの座標が取れる理由について (数式)

Transformation Matrix (Model)を使うと、モデル行列を取り出すことができます。

モデル行列は オブジェクト空間(モデル空間) -> ワールド空間　という座標変換を行う際に使用される行列です。
モデル行列には、オブジェクトのスケール・回転・平行移動に関する情報が含まれています。

3Dモデルがワールド空間に変換される際、モデル行列が使用されます。
モデル行列は以下のような4x4行列になっています。

\begin{pmatrix} m_{00} & m_{01} & m_{02} & \color{red}m_{03} \\ m_{10} & m_{11} & m_{12} & \color{red}m_{13} \\ m_{20} & m_{21} & m_{22} & \color{red}m_{23} \\ m_{30} & m_{31} & m_{32} & m_{33} \\ \end{pmatrix}

オブジェクトの座標が $(1, 2, 3)$ だった場合、 $\color{red}m_{03} \color{black} = 1, \color{red}m_{13} \color{black} = 2, \color{red}m_{23} \color{black} = 3$ となります。

3Dモデルの頂点座標 $(x, y, z)$ はモデル行列によって以下のように変換されます。

\begin{pmatrix} m_{00} & m_{01} & m_{02} & \color{red}m_{03} \\ m_{10} & m_{11} & m_{12} & \color{red}m_{13} \\ m_{20} & m_{21} & m_{22} & \color{red}m_{23} \\ m_{30} & m_{31} & m_{32} & \color{red}m_{33} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ 1 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} m_{00} \cdot x + m_{01} \cdot y + m_{02} \cdot z + \color{red} m_{03} \color{black} \\ m_{10} \cdot x + m_{11} \cdot y + m_{12} \cdot z + \color{red} m_{13} \color{black} \\ m_{20} \cdot x + m_{21} \cdot y + m_{22} \cdot z + \color{red} m_{23} \color{black} \\ m_{30} \cdot x + m_{31} \cdot y + m_{32} \cdot z + \color{red} m_{33} \color{black} \\ \end{pmatrix}

変換後の頂点座標を $(x', y', z')$ と置いたとき、以下のようになります。

\begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} m_{00} \cdot x + m_{01} \cdot y + m_{02} \cdot z + \color{red} m_{03} \color{black} \\ m_{10} \cdot x + m_{11} \cdot y + m_{12} \cdot z + \color{red} m_{13} \color{black} \\ m_{20} \cdot x + m_{21} \cdot y + m_{22} \cdot z + \color{red} m_{23} \color{black} \\ \end{pmatrix}

上記の式の赤字は平行移動成分(オブジェクトの座標)になっています。

モデル行列とMatrix Split (Column)の対応は以下のようになっています。
M3列にはオブジェクトの座標が含まれます。

冒頭で紹介した、液体表現のシェーダーは以下のようになります。
Sineを使って波を作っています。

Assets/_SampleData/ShaderSamples/13_Liquid

今回の方法は、以下のような座標空間を作ることができます。

Position(Space = World)をそのまま使った場合

Position(Space = Object)を使った場合