今度は全く違うものだ!射が対象たちの関係、一方が他方以下であるという関係、であるような圏だ。これが本当に圏かどうか確かめよう。まず恒等射があるだろうか?各対象は自分自身以下である。確かめよ!合成を持つだろうか?もしa \leqslant bb\leqslant cであればa\leqslant cである。確かめよ!合成は結合的であるか?確かめよ!このような関係を備えた集合を前順序(preorder)という。つまり前順序は確かに圏である。

より強い関係として、もしa\leqslant bかつb\leqslant aであればabと一致しなければならないという追加の条件を満たすものを考えることもできる。これは半順序(partial order)と呼ばれる。

最後に、いかなる二つの対象もそれらの間かならずどちらか向きの関係があるという条件を課すこともできる。これにより線形順序(linear order)とか全順序(total order)が与えられる。

これらの順序集合を圏として特徴付けよう。前順序は圏であって、任意の対象aから任意の対象bに向かう射が高々一つ存在するものである。このような圏の別名は薄い圏nである。半順序は薄い圏である。

\mathbf{C}において対象aから対象bへの射全体の集合を射集合(hom-set0とよび、\mathbf{C}(a,b)と書く。(しばしば\mathbf{Hom}_C(A,b)ともかかれる。前順序において各射集合は空集合であるか要素が一つの集合である。このことは射集合\mathbf{C}(a,a)についても成立するが、任意の前順序においてこれは恒等射ただ一つを要素にもつ集合でなければいけない。しかしながら、前順序においてはサイクルを持つかもしれない。半順序においてはサイクルを持つことは許されない。

前順序、半順序、全順序について認識することは、ソートのために非常に重要である。クイックソート、バブルソート、マージソートなどのソートアルゴリズムは全順序の上でのみ正しく機能する。半順序はトポロジカルソートを用いることでソートできる。

(和訳:@unaoya