Visual Studio Code(以下VSCode)は、拡張機能として、Microsoftが管理しているMarketplaceと呼ばれているところに登録されたものをインストールすることができます。

rust-analyzerの追加

1. VSCodeを起動
2. 左端のメニューバーにある拡張機能のボタンをクリック
3. rust-analyzerで検索
4. rust-analyzerをインストールボタンをクリックしてインストール
5. Language Server version xxx (xxx部分はバージョン番号)がインストールされていないがダウンロードしますか？　とVSCodeから通知が来るのでyesを押す

インストール後

お好みでエディタの設定をしてください。

アップデート

VSCodeは自動で拡張機能をアップデートしてくれます。
　タイミングはおそらく起動時もしくはウィンドウのリロード時です。
　つまりほぼ気にする必要はありません。楽！