Chapter 10

III.5 解答・解説

後生楽 広小路
後生楽 広小路
2021.07.24に更新
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解答

R\to\infty,r\to 0のとき

\oint_C f(z)\mathrm{d}z=[1+(-1)^\beta]\int_0^\infty\frac{x^\beta}{(x^2+1)^2}\mathrm{d}x=\pi i^\beta\frac{1-\beta}{2}

となる.よって

\begin{aligned} \int_0^\infty\frac{x^\beta}{(x^2+1)^2}\mathrm{d}x &=\frac{\pi i^\beta(1-\beta)}{2[1+(-1)^\beta]}\\ &=\frac{\pi i^\beta(1-\beta)}{2i^\beta(i^{-\beta}+i^\beta)}\\ &=\frac{\pi(1-\beta)}{2(e^{-i\frac{\pi}{2}\beta}+e^{i\frac{\pi}{2}\beta})} \end{aligned}

となる.ゆえに

I=\int_0^\infty\frac{x^\beta}{(x^2+1)^2}\mathrm{d}x =\frac{\pi(1-\beta)}{4\cos\left(\frac{\pi}{2}\beta\right)}\tag{答}

である.

解説

答の定積分は実関数の積分なので,虚数単位を含まない形で表すことができます.