Chapter 06

III.1 解答・解説

後生楽 広小路
後生楽 広小路
2021.07.24に更新
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解答

f(z)=\frac{z^\beta}{(z+i)^2(z-i)^2}

であるから,f(z)の特異点はz=\pm iである.

C内の特異点はz=iのみであり,これは2位の極である.よって,留数は

\begin{aligned} \mathrm{Res}f(i) &=\lim_{z\to i}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}(z-i)^2f(z)\\ &=\lim_{z\to i}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\frac{z^\beta}{(z+i)^2}\\ &=\lim_{z\to i}\frac{\beta z^{\beta-1}(z+i)^2-2z^\beta(z+i)}{(z+i)^4}\\ &=i^{\beta-1}\frac{1-\beta}{4} \end{aligned}

となる.ゆえに,留数定理より

\oint_C f(z)\mathrm{d}z=2\pi i\mathrm{Res}f(i)
\therefore\oint_C f(z)\mathrm{d}z=\pi i^\beta\frac{1-\beta}{2}\tag{答}

である.

解説

留数定理を用いて閉曲線上の複素積分を求める典型問題です.