Chapter 05

II. 解答・解説

後生楽 広小路
後生楽 広小路
2021.07.24に更新
このチャプターの目次

解答

複素関数J(z)の虚部は

\begin{aligned} \mathrm{Im}J(z) &=\frac{J(z)-\overline{J(z)}}{2i}\\ &=\frac{1}{2i}\left(\frac{z}{e^{i\alpha}}+\frac{e^{i\alpha}}{z}-\frac{\overline{z}}{e^{-i\alpha}}-\frac{e^{-i\alpha}}{\overline{z}}\right)\\ &=-\left(1-|z|^2\right)\frac{\overline{z}e^{i\alpha}-ze^{-i\alpha}}{2|z|^2}i \end{aligned}

となる.よって,\mathrm{Im}J(z)\gt 0より

\left(1-|z|^2\right)\left(\overline{z}e^{i\alpha}-ze^{-i\alpha}\right)i\lt 0

となる.ここで,r\gt 0,0\le\theta\lt 2\piとしてz=re^{i\theta}とおくと

\begin{aligned} \left(\overline{z}e^{i\alpha}-ze^{-i\alpha}\right)i &=\left(re^{-i\theta}e^{i\alpha}-re^{i\theta}e^{-i\alpha}\right)e^{\frac{\pi}{2}i}\\ &=r\left(e^{\left[\frac{\pi}{2}-\left(\theta-\alpha\right)\right]i}-e^{\left[\frac{\pi}{2}+\left(\theta-\alpha\right)\right]i}\right)\\ &=r[\sin(\theta-\alpha)+i\cos(\theta-\alpha)+\sin(\theta-\alpha)-i\cos(\theta-\alpha)]\\ &=2r\sin(\theta-\alpha) \end{aligned}

となる.ゆえに,\mathrm{Im}J(z)\gt 0の条件は

\left(1-r^2\right)\sin(\theta-\alpha)\lt 0

となる.

(i) 0\lt r\lt 1のとき
\sin(\theta-\alpha)\lt 0となればよいから

-\alpha\le\theta-\alpha\lt 0, \pi\lt\theta-\alpha\lt 2\pi-\alpha
\therefore 0\le\theta\lt\alpha,\alpha+\pi\lt\theta\lt 2\pi

である.

(ii) r\gt 1のとき
\sin(\theta-\alpha)\gt 0となればよいから

0\lt\theta-\alpha\lt \pi
\therefore \alpha\lt\theta\lt\alpha+\pi

である.

(i),(ii)より求めるzの条件は

\begin{cases} \alpha-\pi\lt\arg z\lt\alpha & (|z|\lt 1)\\ \alpha\lt\arg z\lt\alpha+\pi & (|z|\gt 1) \end{cases}\tag{答}

である.図示すると下図の斜線部分(境界含まず)である.
zの条件

解説

複素関数の像が指定の条件を満たすような入力変数の条件を求める問題です.
本番の試験で解くのに詰まった際は,x,yを実数としz=x+iyとおいて求めるのが現実的だと思います.