Chapter 08

III.3 解答・解説

後生楽 広小路
後生楽 広小路
2021.07.24に更新
このチャプターの目次

解答

z=Re^{i\theta}とおくと

\begin{aligned} \left|\int_{C_R}f(z)\mathrm{d}z\right| &=\left|\int_0^\pi f(Re^{i\theta})\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}\theta}\mathrm{d}\theta\right|\\ &=\left|\int_0^\pi\frac{R^\beta e^{i\beta\theta}}{(R^2e^{2i\theta}+1)^2}iRe^{i\theta}\mathrm{d}\theta\right|\\ &\le\int_0^\pi\left|\frac{R^\beta e^{i\beta\theta}}{(R^2e^{2i\theta}+1)^2}iRe^{i\theta}\right|\mathrm{d}\theta\\ &=\int_0^\pi\frac{R^{\beta+1}}{|(R^2e^{2i\theta}+1)^2|}\mathrm{d}\theta\\ &\le\int_0^\pi\frac{R^{\beta+1}}{(-R^2+1)^2}\mathrm{d}\theta\\ &\le\frac{\pi R^{\beta+1}}{(R^2-1)^2}\\ &\xrightarrow{R\to\infty}0 \end{aligned}

となる.よって,はさみうちの定理より

\lim_{R\to\infty}\int_{C_R}f(z)\mathrm{d}z=0\tag{答}

である.

解説

積分の絶対値を不等式で押さえて極限を示します.
ジョルダンの補助定理についても確認しておきましょう.