Chapter 09

III.4 解答・解説

後生楽 広小路
後生楽 広小路
2021.07.24に更新
このチャプターの目次

解答

z=re^{i\theta}とおくと

\begin{aligned} \left|\int_{C_r}f(z)\mathrm{d}z\right| &=\left|\int_\pi^0 f(re^{i\theta})\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}\theta}\mathrm{d}\theta\right|\\ &=\left|\int_\pi^0\frac{r^\beta e^{i\beta\theta}}{(r^2e^{2i\theta}+1)^2}ire^{i\theta}\mathrm{d}\theta\right|\\ &\le\int_0^\pi\left|\frac{r^\beta e^{i\beta\theta}}{(r^2e^{2i\theta}+1)^2}ire^{i\theta}\right|\mathrm{d}\theta\\ &=\int_0^\pi\frac{r^{\beta+1}}{|(r^2e^{2i\theta}+1)^2|}\mathrm{d}\theta\\ &\le\int_0^\pi\frac{r^{\beta+1}}{(-r^2+1)^2}\mathrm{d}\theta\\ &\le\frac{\pi r^{\beta+1}}{(r^2-1)^2}\\ &\xrightarrow{r\to 0}0 \end{aligned}

となる.よって,はさみうちの定理より

\lim_{r\to 0}\int_{C_r}f(z)\mathrm{d}z=0\tag{答}

である.

解説

問III.3と同様です.