Chapter 07

III.2 解答・解説

後生楽 広小路
後生楽 広小路
2021.07.24に更新
このチャプターの目次

解答

\int_{C_1}f(z)\mathrm{d}z=\int_r^R\frac{x^\beta}{(x^2+1)^2}\mathrm{d}x

である.一方

\int_{C_2}f(z)\mathrm{d}z =\int_{-R}^{-r}\frac{x^\beta}{(x^2+1)^2}\mathrm{d}x

である.ここで,t=-xとおくと

\begin{aligned} \int_{C_2}f(z)\mathrm{d}z &=\int_R^r\frac{(-t)^\beta}{(t^2+1)^2}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\mathrm{d}t\\ &=(-1)^\beta\int_R^r\frac{(-t)^\beta}{(t^2+1)^2}(-1)\mathrm{d}t\\ &=(-1)^\beta\int_r^R\frac{t^\beta}{(t^2+1)^2}\mathrm{d}t\\ &=(-1)^\beta\int_r^R\frac{x^\beta}{(x^2+1)^2}\mathrm{d}x \end{aligned}

となる.よって

\int_{C_1}f(z)\mathrm{d}z+\int_{C_2}f(z)\mathrm{d}z =[1+(-1)^\beta]\int_r^R\frac{x^\beta}{(x^2+1)^2}\mathrm{d}x\tag{答}

である.

解説

C_1上の積分は与えられた定積分そのままです.
一方,C_2上の積分は,置換積分を行い積分区間を逆転させることで与えられた定積分を用いて表すことができます.