はじめに
この記事では、統計検定準1級取得に向けて学習したことをまとめていきます。
工学系の数学ではなく数理あるあるの、論述ゴリゴリな解答になっていると思いますのであらかじめご了承ください。
注意：さらに計算過程は数学文化の『省略の美』を無視してエレファントに書いています。
【リンク紹介】
・統計検定準1級のまとめ記事一覧
・これまで書いたシリーズ記事一覧
学習書籍について
この記事では「統計学実践ワークブック」を中心に、学んだことをまとめていきます。記事を読んで本格的に勉強してみたいなと思った方は、是非ご購入を検討なさってください。
参考書籍について
統計実践ワークブックは、大量の知識項目と問題が収められている反面、計算過程や知識背景が大きく省略されているため、知識体系をきちんと学ぶ参考書として東京大学から出版されている名著「統計学入門」を使っています。
※ワークブックとしては素晴らしい質だと思いますが、どうしてもその内容量とページ数の都合上、問題のない範囲で削除されているということです。人によっては1冊で問題ない方もおられると思いますが、私には無理でした。
t分布
確率変数X, Yは連続型で互いに独立であるとする。
Xが標準正規分布N(0, 1)に従い、Yが自由度nのカイ2乗分布\chi^2 (n)に従うとする。
今、統計量Tを
T = \cfrac{X}{\sqrt{\cfrac{ \ Y \ }{n}}}
と定め、この確率密度関数fが
f(t) = \cfrac{\Gamma (\frac{n + 1}{2})}
{\sqrt{n \pi} \ \Gamma (\frac{n}{2})}
\left(
1 + \cfrac{t^2}{n}
\right)^{- \frac{n + 1}{2}}
\hspace{5mm}
(t \geqq 0)
であるとき、この確率密度関数fを自由度nのt分布(t distribution with n degrees of freedom)といい、t(n)と表す。※テキストによっては自由度をnではなくギリシャ文字の\nu（ニュー）を用いて、t分布をt(n)ではなくt_\nuで表すものもある（というかこちらの方がメジャー？）
ただし、\Gammaはガンマ分布のガンマ関数を表し、\Gamma (\frac{n + 1}{2}), \Gamma (\frac{n}{2})はそれぞれ
\Gamma \left( \frac{n + 1}{2} \right) =
\int_{0}^{\infty} x^{\frac{n + 1}{2} - 1} e^{-x} dx
\Gamma \left( \frac{n}{2} \right) =
\int_{0}^{\infty} x^{\frac{n}{2} - 1} e^{-x} dx
である。さらに、t分布をベータ分布のベータ関数\Betaを用いて次のように表すことができる。
f(t) = \cfrac{1}{\sqrt{n} \ \Beta (\frac{n}{2}, \frac{1}{2})}
\left(
1 + \cfrac{t^2}{n}
\right)^{- \frac{n + 1}{2}}
\hspace{5mm}
(t \geqq 0)
ただし、
\Beta \left( \frac{n}{2}, \frac{1}{2} \right) =
\int_{0}^{1} x^{\frac{n}{2} - 1} (1 - x)^{\frac{1}{2} - 1} dx
である。
t分布に関する性質など
・ n \rightarrow \inftyのとき、t分布は標準正規分布N(0, 1)と一致する。
・確率変数X_1, X_2, \cdots, X_nが母平均\mu、不偏標本分散U^2の正規分布N(\mu, U^2)に従うとする。このとき、統計量
\cfrac{ \ \ \overline{X} - \mu \ \ }{\cfrac{ \ \ U \ \ }{\sqrt{n}}}
は自由度n - 1のt分布に従う（※式変形などはこちら）。
t分布の期待値
E[T]：Tの期待値
E[T] = 0 \hspace{5mm} (n > 1)
t分布の分散
V[T]：Tの分散
V[T] = \cfrac{n}{n - 2} \hspace{5mm} (n > 2)
非心t分布
確率変数Y, Zは連続型で互いに独立であるとする。
Yが自由度mのカイ2乗分布\chi^2 (m)に従い、Zが正規分布N(\lambda, 1)に従うとする。
今、確率変数Tを
T = \cfrac{Z}{\sqrt{\cfrac{ \ Y \ }{m}}}
と定め、この確率密度関数を自由度n、非心度\lambdaの非心t分布(noncentral t distribution with n degrees of freedom)といい、t(m, \lambda)と表す。なお、t(m, 0)はt(m)と一致する。
参考資料
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