【統計検定準1級】ベータ分布

はじめに

この記事では、統計検定準1級取得に向けて学習したことをまとめていきます。
工学系の数学ではなく数理あるあるの、論述ゴリゴリな解答になっていると思いますのであらかじめご了承ください。
注意：さらに計算過程は数学文化の『省略の美』を無視してエレファントに書いています。

【リンク紹介】
・統計検定準1級のまとめ記事一覧
・これまで書いたシリーズ記事一覧

学習書籍について

この記事では「統計学実践ワークブック」を中心に、学んだことをまとめていきます。記事を読んで本格的に勉強してみたいなと思った方は、是非ご購入を検討なさってください。

参考書籍について

統計実践ワークブックは、大量の知識項目と問題が収められている反面、計算過程や知識背景が大きく省略されているため、知識体系をきちんと学ぶ参考書として東京大学から出版されている名著「統計学入門」を使っています。
※ワークブックとしては素晴らしい質だと思いますが、どうしてもその内容量とページ数の都合上、問題のない範囲で削除されているということです。人によっては1冊で問題ない方もおられると思いますが、私には無理でした。

ベータ分布

確率変数$X$が連続型であるとする。この$X$と$a > 0, b > 0$に対し、確率密度関数$f$が

$$f(x) = \cfrac{1}{\Beta (a, b)} x^{a - 1} (1 - x)^{b - 1} \hspace{5mm} (0 < x < 1)$$

であるとき、この確率密度関数$f$をベータ分布(beta distribution)といい、$Be (a, b)$と表す。ただし、

$$\Beta(a, b) = \int_{0}^{1} x^{a - 1} (1 - x)^{b - 1} dx \hspace{5mm} (a > 0, b > 0)$$

と定め、$\Beta(a, b)$をベータ関数という。これは$f(x)$を積分した際に1になるようにする役割がる。

確率密度関数=確率分布=分布
　統計学は数学の中でも特に、同じ意味なのにいろんな名前を持つものが多いですが、「分布」という言葉はこれまた非常に厄介です。
　結論から言うと、「分布」は「確率関数または確率密度関数」のことを指しています。多くの参考書籍の中では、なぜか同じ文章上で同時に出現する場合も多々ありますが、同じ意味です。※おそらく分布の定義の方が微妙に定義の幅が広いのですが、明らかに同義な使い方をしている場合がほとんどです。
　また、「○○分布」といわれるものはある特定の形の式の確率関数に対して付けられる名称であり、大雑把に言うと確率関数もしくは確率密度関数であることには変わりはありません。様々な分布の定義文を確認してみると、文章が曖昧な表現で書かれており、意味を正確に捉えづらいものが多いですが、意識してみると良いかもしれません。

グラフの描画

コードはこちら

参考資料→Pythonで理解する統計解析の基礎
※ベータ分布は記載がなかったので自分で作成したものになります。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import japanize_matplotlib                    # グラフ上での日本語表示
from scipy import stats, integrate
from scipy.optimize import minimize_scalar    # 関数の最小値を求める

# 表示桁数を小数点以下第３位に設定
%precision 3

# [Jupyter notebook only]
# グラフ表示を非インタラクティブモード(jupyter notebook内に表示)に設定
# インタラクティブモードだと別ウィンドウで表示される
%matplotlib inline

"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""
関数名：Be(a, b)
機　能：ベータ分布
引　数：a, b
戻り値：連続型確率変数と確率密度関数（X, f）
"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""

def Be(a, b):
    # 連続型確率変数
    X = [0, np.inf]

    # ベータ関数の被積分関数
    def Beta_func(x):
        return (x**(a - 1)) * ((1 - x)**(b - 1))

    # ベータ関数
    Beta = integrate.quad(Beta_func, 0, 1)[0]
    
    # ベータ分布
    def f(x):
        if x > 0 and x < 1:
            return (1 / Beta) * (x**(a - 1)) * ((1 - x)**(b - 1))
        else:
            return 0
            
    return X, f

# ラムダ式を用いた場合
# def Be(a, b):
#     # 連続型確率変数
#     X = [0, np.inf]

#     # ベータ関数
#     Beta = integrate.quad(lambda x: (x**(a - 1)) * ((1 - x)**(b - 1)), 0, 1)[0]
    
#     # ベータ分布
#     def f(x):
#         if x > 0 and x < 1:
#             return (1 / Beta) * (x**(a - 1)) * ((1 - x)**(b - 1))
#         else:
#             return 0
            
#     return X, f

a = 3
b = 3
Xf = Be(a, b)

check_prob(Xf)

plot_prob(Xf, 0, 1)

基本関数

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import japanize_matplotlib                    # グラフ上での日本語表示
from scipy import stats, integrate
from scipy.optimize import minimize_scalar    # 関数の最小値を求める

# 表示桁数を小数点以下第３位に設定
%precision 3

# [Jupyter notebook only]
# グラフ表示を非インタラクティブモード(jupyter notebook内に表示)に設定
# インタラクティブモードだと別ウィンドウで表示される
%matplotlib inline

# グラフの線の種類
linestyles = ['-', '--', ':']

"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""
関数名：E(Xf, g = lambda x: x)
機　能：連続型確率変数（確率変数の関数）の期待値を返す
引　数：連続型確率変数と確率関数X(タプル)
       連続型確率変数Xの関数g(初期値:恒等関数)
戻り値：期待値
"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""

def E(Xf, g = lambda x: x):
    X = Xf[0]    # 連続型確率変数
    f = Xf[1]    # 確率密度関数

    def integrand(x):
        return g(x) * f(x)
    
    expection = integrate.quad(func = integrand,    # 被積分関数
                               a    = -np.inf,      # 積分区間
                               b    = np.inf        # 積分区間
                              )[0]
    
    return expection

"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""
関数名：V(Xf, g = lambda x: x)
機　能：連続型確率変数（確率変数の関数）の分散を返す
引　数：連続型確率変数と確率関数X(タプル)
       連続型確率変数Xの関数g(初期値:恒等関数)
戻り値：分散
"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""

def V(Xf, g = lambda x: x):
    X = Xf[0]    # 連続型確率変数
    f = Xf[1]    # 確率密度関数
    expection = E(Xf, g)

    def integrand(x):
        return (g(x) - expection) ** 2 * f(x)
    
    variance = integrate.quad(func = integrand,    # 被積分関数
                              a    = -np.inf,      # 積分区間
                              b    = np.inf        # 積分区間
                             )[0]
    
    return variance

"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""
関数名：check_prob(Xf)
機　能：連続型確率変数が確率の性質を満たしているかを確認する
引　数：連続型確率変数と確率密度関数(タプル)
戻り値：なし
"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""

def check_prob(Xf):
    X = Xf[0]    # 連続型確率変数
    f = Xf[1]    # 確率密度関数
    
    f_min = minimize_scalar(f).fun
    assert f_min >= 0, '確率密度関数が負の値をとります'
    
    prob_sum = np.round(integrate.quad(f, -np.inf, np.inf)[0], 6)
    assert prob_sum == 1, f'確率の和が{prob_sum}になりました'

    print(f'期待値は{E(Xf):.3f}')
    print(f'分散は{V(Xf):.3f}')

"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""
関数名：plot_prob(Xf, x_min, x_max)
機　能：確率密度関数と期待値を図示する
引　数：連続型確率変数と確率密度関数X(タプル)
       定義域の最低値
       定義域の最大値
戻り値：なし
"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""

def plot_prob(Xf, x_min, x_max):
    X = Xf[0]    # 連続型確率変数
    f = Xf[1]    # 確率密度関数
    
    # 累積分布関数
    def F(x):
        return integrate.quad(f, -np.inf, x)[0]

    xs = np.linspace(x_min, x_max, 100)

    fig = plt.figure(figsize = (10, 6))
    ax  = fig.add_subplot(1, 1, 1)

    # 確率密度関数のグラフ
    ax.plot(xs, [f(x) for x in xs], label = '確率密度関数f(x)', color = '#006C4F')
    
    # 累積分布関数のグラフ
    ax.plot(xs, [F(x) for x in xs], label = '累積分布関数F(x)', ls = '--', color = '#ee7800')

    # グラフ設定
#   ax.set_xticks(np.append(X, E(Xf))) # x目盛値
#   ax.set_ytickx()                    # y目盛値  
#   ax.set_xlim()                      # x軸の範囲
#   ax.set_ylim()                      # y軸の範囲
#   ax.xlabel()                        # x軸ラベル
#   ax.ylabel()                        # y軸ラベル    
    ax.legend()                        # 凡例

    # 描画
    plt.show()

ベータ分布の期待値

$E[X]$：$X$の期待値

$$E[X] = \cfrac{a}{a + b}$$

ベータ分布の分散

$V[X]$：$X$の分散

$$V[X] = \cfrac{ab}{(a + b)^2 \ (a + b + 1)}$$

参考資料

• 日本統計学会(編集).日本統計学会認定 統計検定準１級対応 統計学実践ワークブック.学術図書出版社.2020
• 東京大学教養学部統計学教室.統計学入門(基礎統計学Ⅰ).東京大学出版会.1991
• 小寺 平治.新統計入門.裳華房.1996
• 稲垣 宣生, 山根 芳知, 吉田 光雄.統計学入門.裳華房.1992
• 長瀬道弘・芦野隆一.微分積分概説.サイエンス社.2007
• 加藤文元.チャート式シリーズ 大学教養 微分積分.数研出版.2024

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