【統計検定準1級】中心極限定理

はじめに

この記事では、統計検定準1級取得に向けて学習したことをまとめていきます。
工学系の数学ではなく数理あるあるの、論述ゴリゴリな解答になっていると思いますのであらかじめご了承ください。
注意：さらに計算過程は数学文化の『省略の美』を無視してエレファントに書いています。

【リンク紹介】
・統計検定準1級のまとめ記事一覧
・これまで書いたシリーズ記事一覧

学習書籍について

この記事では「統計学実践ワークブック」を中心に、学んだことをまとめていきます。記事を読んで本格的に勉強してみたいなと思った方は、是非ご購入を検討なさってください。

参考書籍について

この記事では他の記事と異なり、「数理統計学：統計的推論の基礎」を参考にしています。普段は主に「統計学入門」で学んでいるのですが、今回は定理の証明が関わっているため、こちらの本を中心に学習しました。

※この本はゴリゴリの専門書です。大学数学の基礎が身についていないと読めない書籍なので、買う場合はご注意ください。文系さんは多分卒倒します…。

中心極限定理

中心極限定理(central limit theorem)を以下に記します。この定理はあまりにも有名で、それゆえに誰でも理解ができるような「意訳」のみが独り歩きし、正確な定理そのものは陰に隠れがちです。そのため、この記事ではできるだけ厳密な議論ができればと思います。
※なお、この記事を投稿時点でまだ証明の準備ができていません。準備出来次第更新したいと思います。

定理1

$X1,X2,⋯ ,XnX_1, X_2, \cdots, X_n$を母集団からの無作為標本とし、かつ互いに独立で、それぞれ同一の（母平均$μ\mu$、母分散$σ2\sigma^2$の）確率分布に従う確率変数とする。
ここで、確率変数$SnS_n$を

$$Sn=X1+X2+⋯+Xn S_n = X_1 + X_2 + \cdots + X_n$$

とする。また、確率変数$ZnZ_n$を

$$Zn=Sn−nμnσ Z_n = \cfrac{S_n - n \mu}{\sqrt{n} \sigma}$$

とおくと、$ZnZ_n$は標準正規分布$N(0,1)N(0, 1)$に分布収束する。つまり、

$$lim⁡n→∞P(a≦Zn≦b)=∫ab12π e−x22dx \lim_{n \to \infty} P (a \leqq Z_n \leqq b) = \int_{a}^{b} \cfrac{1}{\sqrt{2 \pi}} \ e^{- \frac{x^2}{2}} dx$$

が成り立つ。

---

また、標本平均

$$Xn‾=1 n ∑i=1nXi(=1nSn) \begin{alignat*}{2} \overline{X_n} &= \cfrac{1}{ \ n \ } \sum_{i = 1}^{n} X_i \\ & \left( = \cfrac{1}{n} S_n \right) \end{alignat*}$$

を用いて、

$$Sn−nμnσ=1n(Sn−nμ)σ=n⋅1(n)(Sn−nμ)σ=n(1nSn−μ)σ=n(Xn‾−μ)σ \begin{alignat*}{2} \cfrac{S_n - n \mu}{\sqrt{n} \sigma} &= \cfrac{\cfrac{1}{\sqrt{n}} \left( S_n - n \mu \right)}{\sigma} \\ &= \cfrac{\sqrt{n} \cdot \cfrac{1}{\left( \sqrt{n} \right)} \left( S_n - n \mu \right)}{\sigma} \\ &= \cfrac{\sqrt{n} \left( \cfrac{1}{n} S_n - \mu \right)}{\sigma} \\ &= \cfrac{\sqrt{n} \left( \overline{X_n} - \mu \right)}{\sigma} \\ \end{alignat*}$$

であることから、中心極限定理は次のようにも表現できる。

定理2

$X1,X2,⋯ ,XnX_1, X_2, \cdots, X_n$を母集団からの無作為標本とし、かつ互いに独立で、それぞれ同一の（母平均$μ\mu$、母分散$σ2\sigma^2$の）確率分布に従う確率変数とする。
ここで、標本平均

$$Xn‾=1 n ∑i=1nXi \begin{alignat*}{2} \overline{X_n} &= \cfrac{1}{ \ n \ } \sum_{i = 1}^{n} X_i \\ \end{alignat*}$$

に対し、確率変数$ZnZ_n$を

$$Zn=n(Xn‾−μ)σ Z_n = \cfrac{\sqrt{n} \left( \overline{X_n} - \mu \right)}{\sigma}$$

とおくと、$ZnZ_n$は標準正規分布$N(0,1)N(0, 1)$に分布収束する。つまり、

$$lim⁡n→∞P(a≦Zn≦b)=∫ab12π e−x22dx \lim_{n \to \infty} P (a \leqq Z_n \leqq b) = \int_{a}^{b} \cfrac{1}{\sqrt{2 \pi}} \ e^{- \frac{x^2}{2}} dx$$

正規分布で表すと…

ちなみに、中心極限定理は「標準正規分布に従う」という話ですが、
当然次のことも成り立ちます。

$$Sn=X1+X2+⋯+Xn は N(nμ,nσ2) に従う。 S_n = X_1 + X_2 + \cdots + X_n \text{ は } N(n \mu, n {\sigma}^2) \text{ に従う。}$$

$$Xn‾=1 n ∑i=1nXi は N(μ,σ2n) に従う。 \overline{X_n} = \cfrac{1}{ \ n \ } \sum_{i = 1}^{n} X_i \text{ は } N \left( \mu, \cfrac{{\sigma}^2}{n} \right) \text{ に従う。}$$

この内容は二項定理の正規分布近似に関係する部分でもあるので、頭の中でスムーズに解釈を変換できると良いと思います。

証明（※未記入）

※後日加筆します。
参考資料を添付

https://www.math.kyushu-u.ac.jp/wp-content/uploads/2023/08/Booklet19_1.pdf

参考資料

• 日本統計学会(編集).日本統計学会認定 統計検定準１級対応 統計学実践ワークブック.学術図書出版社.2020
• 東京大学教養学部統計学教室.統計学入門(基礎統計学Ⅰ).東京大学出版会.1991
• 小寺 平治.新統計入門.裳華房.1996
• 稲垣 宣生, 山根 芳知, 吉田 光雄.統計学入門.裳華房.1992
• 長瀬道弘・芦野隆一.微分積分概説.サイエンス社.2007
• 加藤文元.チャート式シリーズ 大学教養 微分積分.数研出版.2024
• 谷合廣紀.Pythonで理解する東海解析の基礎.技術評論社.2018
• 黒木学.数理統計学：統計的推論の基礎.共立出版.2020

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