【統計検定準1級】二項分布

はじめに

この記事では、統計検定準1級取得に向けて学習したことをまとめていきます。
工学系の数学ではなく数理あるあるの、論述ゴリゴリな解答になっていると思いますのであらかじめご了承ください。
注意：さらに計算過程は数学文化の『省略の美』を無視してエレファントに書いています。

【リンク紹介】
・統計検定準1級のまとめ記事一覧
・これまで書いたシリーズ記事一覧

学習書籍について

この記事では「統計学実践ワークブック」を中心に、学んだことをまとめていきます。記事を読んで本格的に勉強してみたいなと思った方は、是非ご購入を検討なさってください。

参考書籍について

統計実践ワークブックは、大量の知識項目と問題が収められている反面、計算過程や知識背景が大きく省略されているため、知識体系をきちんと学ぶ参考書として東京大学から出版されている名著「統計学入門」を使っています。
※ワークブックとしては素晴らしい質だと思いますが、どうしてもその内容量とページ数の都合上、問題のない範囲で削除されているということです。人によっては1冊で問題ない方もおられると思いますが、私には無理でした。

二項分布

ベルヌーイ試行において、成功の結果が起こる確率を$p$とする。そして$n$回の試行中に成功の結果が起こる回数を確率変数$X$とする。このとき、$X$の確率が

$$\begin{alignat*}{2} P(X = x) &= {}_n C_x p^x (1 - p)^{n - x} \hspace{5mm} (x = 0, 1, 2, \cdots, n) \end{alignat*}$$

であるとき、この確率関数${}_n C_x p^x (1 - p)^{n - x}$を（成功確率$p$の）二項分布(binomial distribution)といい、$Bin(n, p)$と表す。ただし、

$${}_n C_x= \cfrac{n!}{x! \times (n - x)!}, \hspace{5mm}{}_n C_0 = 1 \\$$

$$r! = r \times (r - 1) \times \cdots \times 2 \times 1, \hspace{5mm}0! = 1$$

とする。

確率密度関数=確率分布=分布
　統計学は数学の中でも特に、同じ意味なのにいろんな名前を持つものが多いですが、「分布」という言葉はこれまた非常に厄介です。
　結論から言うと、「分布」は「確率関数または確率密度関数」のことを指しています。多くの参考書籍の中では、なぜか同じ文章上で同時に出現する場合も多々ありますが、同じ意味です。※おそらく分布の定義の方が微妙に定義の幅が広いのですが、明らかに同義な使い方をしている場合がほとんどです。
　また、「○○分布」といわれるものはある特定の形の式の確率関数に対して付けられる名称であり、大雑把に言うと確率関数もしくは確率密度関数であることには変わりはありません。様々な分布の定義文を確認してみると、文章が曖昧な表現で書かれており、意味を正確に捉えづらいものが多いですが、意識してみると良いかもしれません。

二項分布の期待値

$E[X]$：$X$の期待値

$$E[X] = np$$

二項分布の分散

$V[X]$：$X$の分散

$$V[X] = np(1 - p)$$

二項分布の確率母関数

$G(s) = E[s^X]$：$X$の確率母関数

$$\begin{alignat*}{2} G(s) &= E[s^X] \\ &= (ps + (1 - p))^n \end{alignat*}$$

例題

(「統計学実践ワークブック」より)
問5.1
ある研究機関では、ウイルスに関する研究を行っている。多くのウイルスを検査し、滅多に現れないウイルス$A$を発見し、その性質を研究するのがこの期間の仕事である。検査するウイルスの全株数を$n$とする。$n$株のウイルスの検査は独立に行われ、いずれの検査においても、ウイルス$A$の発見率は一定値$p$であるとする。

[1] $n$株のウイルスの中にウイルス$A$が少なくとも$1$株はみつかる確率$\beta$を求める式を、$p$と$n$を用いて示せ。
[2] $p$の値が$0$に十分近いとき、$\log (1 - p) \approx -p$の近似が成り立つ。これを用いて、$p = 1/5000$, $\beta = 0.98$のときの$n$の値を求めよ。ただし、$\log (0.02) \approx - 3.9$であり、$\log$は自然対数である。

解答

[1] 確率変数$X$を、ウイルス$A$が見つかる株の数とする$(0 \leqq X \leqq n)$。すると、$X$の確率$P(X)$（$n$株のウイルスからウイルス$A$の株が$X$株見つかる確率）は以下のようになる。

$$P(X) = {}_n C_{x} p^x (1 - p)^{n - x}$$

これは$X$の二項分布である（つまり$Bin(n, p)$）。
さて、求める$\beta$について、これは「$n$株のウイルスの中にウイルス$A$が少なくとも$1$株は見つかる確率」であるので、

$$\begin{alignat*}{2} \beta &= P(X \geqq 1) \\ &= 1 - P(X = 0) \\ &= 1 - {}_n C_0 p^0 (1 - p)^{n - 0} \\ &= 1 - 1 \times 1 \times (1 - p)^n \\ &= \underline{1 - (1 - p)^n} \end{alignat*}$$

---

[2] $p = \cfrac{1}{5000}, \beta = 0.98$と[1]より

$$\begin{alignat*}{2} \beta &= 1 - (1 - p)^n \\ 0.98 &= 1 - (1 - \cfrac{1}{5000})^n \\ (1 - \cfrac{1}{5000})^n &= 0.02 \\ \log (1 - \cfrac{1}{5000})^n &= \log 0.02 \\ n &= \cfrac{\log 0.02}{\log (1 - \cfrac{1}{5000})} \end{alignat*}$$

ここで、

$$\log (0.02) \approx - 3.9 \\ \log (1 - \cfrac{1}{5000}) \approx - \cfrac{1}{5000}$$

であるから、

$$\begin{alignat*}{2} n &\approx \cfrac{ \ \ 3.9 \ \ }{\frac{1}{5000}} \\ n &\approx \underline{19500} \end{alignat*}$$

【確率変数をおけば分布に従う？】
　どうしても書籍の解答は、コスト削減の観点およびエレガント(?)な解答を目指すため、大部分が省略されることがほとんどです。そのためか、問5.1[1]の解答にて次の文章表現がよく現れます。

$$n株のうち、ウイルスAが見つかる株の数をYとすると、Y \sim Bin(n, p)である。$$

まるで「確率変数$Y$をおいたら、二項分布に従うと言ってよい」という意味に読めますが、違います。確率変数がある特定の分布に従う条件は、確率変数に対応する確率関数が成立することです。ですから確率変数に対する確率関数を、本来はきちんと書かなければなりません。
　このように、数学書は行間に隠された論理を読み解く力が求められます。そのままの記述を鵜呑みにしないようにしましょう。

参考資料

• 日本統計学会(編集).日本統計学会認定 統計検定準１級対応 統計学実践ワークブック.学術図書出版社.2020
• 東京大学教養学部統計学教室.統計学入門(基礎統計学Ⅰ).東京大学出版会.1991
• 小寺 平治.新統計入門.裳華房.1996
• 稲垣 宣生, 山根 芳知, 吉田 光雄.統計学入門.裳華房.1992
• 長瀬道弘・芦野隆一.微分積分概説.サイエンス社.2007
• 加藤文元.チャート式シリーズ 大学教養 微分積分.数研出版.2024

$\bf{\textcolor{red}{記事が役に立った方は「いいね」を押していただけると、すごく喜びます \ 笑}}$
ご協力のほどよろしくお願いします。