【統計検定準1級】ベルヌーイ分布

はじめに

この記事では、統計検定準1級取得に向けて学習したことをまとめていきます。
工学系の数学ではなく数理あるあるの、論述ゴリゴリな解答になっていると思いますのであらかじめご了承ください。
注意：さらに計算過程は数学文化の『省略の美』を無視してエレファントに書いています。

【リンク紹介】
・統計検定準1級のまとめ記事一覧
・これまで書いたシリーズ記事一覧

学習書籍について

この記事では「統計学実践ワークブック」を中心に、学んだことをまとめていきます。記事を読んで本格的に勉強してみたいなと思った方は、是非ご購入を検討なさってください。

参考書籍について

統計実践ワークブックは、大量の知識項目と問題が収められている反面、計算過程や知識背景が大きく省略されているため、知識体系をきちんと学ぶ参考書として東京大学から出版されている名著「統計学入門」を使っています。
※ワークブックとしては素晴らしい質だと思いますが、どうしてもその内容量とページ数の都合上、問題のない範囲で削除されているということです。人によっては1冊で問題ない方もおられると思いますが、私には無理でした。

ベルヌーイ試行

次の試行を、ベルヌーイ試行(Bernoulli trial)という。
①１回の試行結果は2種類のみ。
　ここでは一方の結果を「成功」といい、もう一方の結果を「失敗」ということとする。
②毎回の試行において、成功の確率は$p$（成功確率という）であり、失敗の確率は$1 - p$である。
③毎回の試行は独立である。
④試行を$n$回繰り返すとする。このとき、何回成功の結果が起こるかに関心があるものとする。

ベルヌーイ分布

ベルヌーイ試行に対して確率変数$X$が離散型であるとし、成功のとき1、失敗のとき0をとるとする。このとき、$X$の確率が

$$\begin{alignat*}{2} P(X = x) &= p^x (1 - p)^{1 - x} \hspace{5mm} (x = 0, 1) \end{alignat*}$$

であるとき、この確率関数$p^x (1 - p)^{1 - x}$を（成功確率$p$の）ベルヌーイ分布(Bernoulli distribution)といい、$Bin(1, p)$と表す。

確率密度関数=確率分布=分布
　統計学は数学の中でも特に、同じ意味なのにいろんな名前を持つものが多いですが、「分布」という言葉はこれまた非常に厄介です。
　結論から言うと、「分布」は「確率関数または確率密度関数」のことを指しています。多くの参考書籍の中では、なぜか同じ文章上で同時に出現する場合も多々ありますが、同じ意味です。※おそらく分布の定義の方が微妙に定義の幅が広いのですが、明らかに同義な使い方をしている場合がほとんどです。
　また、「○○分布」といわれるものはある特定の形の式の確率関数に対して付けられる名称であり、大雑把に言うと確率関数もしくは確率密度関数であることには変わりはありません。様々な分布の定義文を確認してみると、文章が曖昧な表現で書かれており、意味を正確に捉えづらいものが多いですが、意識してみると良いかもしれません。

ベルヌーイ分布の期待値

$E[X]$：$X$の期待値

$$E[X] = p$$

ベルヌーイ分布の分散

$V[X]$：$X$の分散

$$V[X] = p(1 - p)$$

ベルヌーイ分布の確率母関数

$G(s) = E[s^X]$：$X$の確率母関数

$$\begin{alignat*}{2} G(s) &= E[s^X] \\ &= ps + (1 - p) \end{alignat*}$$

参考資料

• 日本統計学会(編集).日本統計学会認定 統計検定準１級対応 統計学実践ワークブック.学術図書出版社.2020
• 東京大学教養学部統計学教室.統計学入門(基礎統計学Ⅰ).東京大学出版会.1991
• 小寺 平治.新統計入門.裳華房.1996
• 稲垣 宣生, 山根 芳知, 吉田 光雄.統計学入門.裳華房.1992
• 長瀬道弘・芦野隆一.微分積分概説.サイエンス社.2007
• 加藤文元.チャート式シリーズ 大学教養 微分積分.数研出版.2024

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