【統計検定準1級】確率分布の収束（分布収束）

はじめに

この記事では、統計検定準1級取得に向けて学習したことをまとめていきます。
工学系の数学ではなく数理あるあるの、論述ゴリゴリな解答になっていると思いますのであらかじめご了承ください。
注意：さらに計算過程は数学文化の『省略の美』を無視してエレファントに書いています。

【リンク紹介】
・統計検定準1級のまとめ記事一覧
・これまで書いたシリーズ記事一覧

学習書籍について

この記事では「統計学実践ワークブック」を中心に、学んだことをまとめていきます。記事を読んで本格的に勉強してみたいなと思った方は、是非ご購入を検討なさってください。

参考書籍について

この記事では他の記事と異なり、「数理統計学：統計的推論の基礎」を参考にしています。普段は主に「統計学入門」で学んでいるのですが、今回は定理の証明が関わっているため、こちらの本を中心に学習しました。

※この本はゴリゴリの専門書です。大学数学の基礎が身についていないと読めない書籍なので、買う場合はご注意ください。文系さんは多分卒倒します…。

分布収束

$xx \hspace{6.4mm}$ ：変数
$XX \hspace{5.3mm}$ ：確率変数
$FX(x)F_X (x)$：確率変数$XX$に対する累積分布関数
${Xn:n=1,2,⋯ }\{ X_n : n = 1, 2, \cdots \}$：確率変数列
${FXn(x):n=1,2,⋯ }\{ F_{X_n} (x) : n = 1, 2, \cdots \}$：確率変数列${Xn:n=1,2,⋯ }\{ X_n : n = 1, 2, \cdots \}$に対する累積分布関数列

このとき、すべての$xx$に対して

$$lim⁡n→∞FXn(x)=FX(x)(lim⁡n→∞P(Xn≦x)=P(X≦x)) \lim_{n \to \infty} F_{X_n} (x) = F_X (x) \\ \left( \lim_{n \to \infty} P (X_n \leqq x) = P(X \leqq x) \right)$$

が成り立つとき、確率変数列${Xn:n=1,2,⋯ }\{ X_n : n = 1, 2, \cdots \}$は確率変数$XX$へ分布収束(convergence in distribution)するという。または、確率変数列${Xn:n=1,2,⋯ }\{ X_n : n = 1, 2, \cdots \}$は漸近的(asymptotically)に確率変数$XX$の確率分布に従うという。
　また、このときの確率変数$XX$の確率分布を、確率変数列${Xn:n=1,2,⋯ }\{ X_n : n = 1, 2, \cdots \}$の漸近分布(asymptotic distribution)という。

参考資料

• 日本統計学会(編集).日本統計学会認定 統計検定準１級対応 統計学実践ワークブック.学術図書出版社.2020
• 東京大学教養学部統計学教室.統計学入門(基礎統計学Ⅰ).東京大学出版会.1991
• 小寺 平治.新統計入門.裳華房.1996
• 稲垣 宣生, 山根 芳知, 吉田 光雄.統計学入門.裳華房.1992
• 長瀬道弘・芦野隆一.微分積分概説.サイエンス社.2007
• 加藤文元.チャート式シリーズ 大学教養 微分積分.数研出版.2024
• 谷合廣紀.Pythonで理解する東海解析の基礎.技術評論社.2018
• 黒木学.数理統計学：統計的推論の基礎.共立出版.2020

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