指数関数の微分

前提知識

• 対数
• 対数関数の微分

定理

$$\begin{align*} \text{定理 :} \quad &\frac{d}{dx}e^x=e^x \\[1em] \text{定理 :} \quad &\frac{d}{dx}a^x=a^x \ln{a} \\[1em] \text{定理 :} \quad &\frac{d}{dx}x^x=x^x (\ln{x} +1) \end{align*}$$

定理の導出

ネイピア数 $e^x$ の微分

ネイピア数（自然対数の底）とは / ネイピア数の指数関数の微分を参照。

一般的な指数関数 $a^x$ の微分

$a^x=X$ とおけば、対数の定義 : $\quad a^x=X \quad \rightleftarrows \quad \log_a{X}=x \quad$ だから

$$x=\log_a{X}$$

対数関数の微分定理より

$$\begin{align*} \frac{dx}{dX}&=&\frac{1}{X\ln{a}} \\[1.5em] \frac{dX}{dx}&=&\frac{X\ln{a}}{1} \end{align*}$$

$X=a^x$ だから

$$\frac{d}{dx}a^x=a^x\ln{a}$$

指数関数 $x^x$ の微分

$x^x=X$ とおく。

両辺の対数をとると

$$\begin{align*} \ln{X} &= \ln{x^x} \\[1em] &= x\ln{x} \end{align*}$$

両辺を $x$ で微分する (合成関数の微分)

$$\text{左辺 :} \quad \frac{d}{dx}\ln{X} = \frac{d\ln{X}}{dX} \frac{dX}{dx}$$

自然対数関数の微分定理より

$$\text{左辺 :} \quad \frac{d}{dx}\ln{X} = \frac{1}{X} \frac{dX}{dx}$$

右辺は積の微分定理を使って

$$\text{右辺 :} \quad \frac{d}{dx}x\ln{x} = 1 \times\ln{x} + x \times \frac{1}{x} = \ln{x} +1$$

左辺＝右辺

$$\begin{align*} \text{左辺} = \text{右辺 :} \quad \frac{1}{X}\frac{dX}{dx} &= \ln x +1 \\[1em] \frac{dX}{dx} &= X(\ln x +1) \end{align*}$$

$X=x^x$ なので

$$\frac{d}{dx}x^x=x^x (\ln{x} +1)$$