ネイピア数（自然対数の底）とは

ネイピア数の定義

$$\text{定義 :} \quad \text{ネイピア数 }e=\lim_{n \to \infty}(1+\frac{1}{n})^n$$

つまり、 1 よりほんのわずかばかり大きい数を無限に自乗したもの 。

なんとなく $(1+0)^\infty$ で 1 になりそう...な気もするが、実際は
$e=2.7182\cdots$
という絶妙な値の無理数となる。

ネイピア数の指数関数

$$f(x)=e^x$$

これはよくみる形。グラフを描くとこうなる。

f(x)=e^x

$f(x)=e^\frac{1}{x}$（ただし $x>0$ ）

f(x)=e^(1/x) ただし x>0

ネイピア数の指数関数の微分

$$\frac{d}{dx}e^x=e^x$$

ネイピア数の指数関数は微分しても変わらない。
不思議な感じがするが、そもそも不思議な成り立ちの数なので納得できる気もする（？）

証明してみた↓

ネイピア数の指数関数の導関数を求める

微分するとは、導関数を求めるということである。
導関数の定義は

$$\text{定義 :} \quad f(x) \text{ の導関数 } \displaystyle f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

で、今回は $f(x)=e^x$ の導関数を求める。

$$\begin{align*} f'(x)&=\lim_{h \to 0}\frac{e^{x+h}-e^x}{h} \\[1em] &=\lim_{h \to 0}\frac{e^{x}e^{h}-e^x}{h} \\[1em] &=e^{x}\lim_{h \to 0}\frac{e^{h}-1}{h} \end{align*}$$

ここで $e$ の定義は $\displaystyle e=\lim_{n \to \infty}(1+\frac{1}{n})^n$ なので、

$$\displaystyle f'(x)=e^{x}\lim_{h \to 0}\frac{(\displaystyle \lim_{n \to \infty}(1+\frac{1}{n})^n)^{h}-1}{h}$$

$n \to \infty$ ならば $\frac{1}{n} \to 0$ だから $\frac{1}{n}=h , n=\frac{1}{h}$

$$\begin{align*} \displaystyle f'(x)&=e^{x}\lim_{h \to 0}\frac{(\displaystyle \lim_{n \to \infty}(1+h)^\frac{1}{h})^{h}-1}{h} \\[1em] &=e^{x}\lim_{h \to 0}\frac{((1+h)^\frac{1}{h})^{h}-1}{h}=e^{x}\lim_{h \to 0}\frac{(1+h)-1}{h}=e^{x}\lim_{h \to 0}\frac{h}{h} \\[1em] &=e^x \end{align*}$$

と求まった。というかそもそもこうなるように $e$ を定義したんじゃないかという気がする。

おまけ: $f(x)=e^\frac{1}{x}$ の微分

$$\text{定理 :} \quad \displaystyle\frac{d}{dx}e^\frac{1}{x}=-\frac{e^\frac{1}{x}}{x^2}$$

これは合成関数の微分をつかえばよい。

$\displaystyle \frac{1}{x}=u$ とおく。

$$\begin{align*} \frac{de^u}{dx}&=\frac{de^u}{du}\frac{du}{dx}\\[1em] &=e^u\times -\frac{1}{x^2} \end{align*}$$