対数とは

対数の定義

まず、こんなかんじで指数を使った式がある。

$$3^2 = 9$$

これについて、こう書き直したものを対数という。

$$\log_3{9} = 2$$

この場合はつまり、３を何乗したら９になる？ → ２　ということ。

この３の部分を 底 という。

（９の部分を 真数 というらしいが、あまり聞かない）

特殊な対数

常用対数

底が $10$ の対数を 常用対数 という。

$$\log_{10}{100} = 2$$

つまるところ、10進法において桁の数を表す。
たとえばこんなふうになったら

$$\log_{10}{x} = 2.5741\cdots$$

$x$ は $100$ と $1000$ の間、つまり3桁の数だとわかる。

自然対数

底がネイピア数 $e$の対数を 自然対数 という（逆にネイピア数のことを 自然対数の底 とも呼ぶ）。

表記

自然対数の表記は３通りある。

$$\begin{align*} &\log_e{x} \\[0.5em] &\log{x} \\[0.5em] &\ln{x} \\[0.5em] \end{align*}$$

意味は全て同じで $\log{x}$ か $\ln{x}$ がよく用いられる。

対数の計算

定理

$$\begin{align*} &\text{定理 1 :} \quad \log_a{x^y}=y\log_a{x} \\[0.5em] &\text{定理 2 :} \quad \log_a{xy}=\log_a{x} +\log_a{y} \\[0.5em] &\text{定理 3 :} \quad \log_a{\frac{x}{y}}=\log_a{x} -\log_a{y} \\[0.5em] &\text{定理 4 :} \quad \log_a{x}=\frac{\log_c{x}}{\log_c{a}} \quad {\footnotesize (\text{ただし } c \text{ は以外の任意の正の数})} \end{align*}$$

定理の導出

定理１： $\log_a{x^y}=y\log_a{x}$ の導出

これは導出というか、対数の定義をみれば「そらそうやろ」となる。

$$\text{対数の定義 :} \quad a^b=x \quad \rightleftarrows \quad \log_a{x}=b$$

なわけだから、

$$a^{by}=x^y \quad \rightleftarrows \quad \log_a{x^y}=by$$

$b=\log_a{x}$ だから、

$$\log_a{x^y}=y\log_a{x}$$

定理２： $\log_a{xy}=\log_a{x} +\log_a{y}$ の導出

$\log_a x=X, ~ \log_a y=Y$ とすれば $x=a^X, ~ y=a^Y$ なので、

$$\begin{align*} \log_a{xy}&=\log_a{a^X a^Y}\\[0.5em] &=\log_a{a^{X+Y}}\\[0.5em] &=(X+Y)\log_a{a}\\[0.5em] &=X+Y\\[0.5em] &=\log_a{x}+\log_a{y} \end{align*}$$

定理３： $\log_a{\frac{x}{y}}=\log_a{x} -\log_a{y}$ の導出

定理2と同じこと。

$\log_a x=X, ~ \log_a y=Y$ とすれば $x=a^X, ~ y=a^Y$ なので、

$$\begin{align*} \log_a{\frac{x}{y}}&=\log_a{\frac{a^X}{a^Y}}\\[0.5em] &=\log_a{a^Xa^{-Y}}\\[0.5em] &=\log_a{a^{X-Y}}\\[0.5em] &=(X-Y)\log_a{a}\\[0.5em] &=X-Y\\[0.5em] &=\log_a{x}-\log_a{y} \end{align*}$$

定理4: $\log_a{x}=\frac{\log_c{x}}{\log_c{a}}$ の導出

$a^{b}=x$ の両辺の対数をとると

$$\begin{align*} \log_c{a^{b}} &= \log_c{x} \\[0.5em] b \log_c{a} &= \log_c{x} \\[0.5em] b &= \frac{\log_c{x}}{\log_c{a}} \end{align*}$$

対数の定義 : $\quad a^b=x \quad \rightleftarrows \quad \log_a{x}=b \quad$ なわけだから、

$$\log_a{x}=\frac{\log_c{x}}{\log_c{a}}$$

対数関数の微分

https://zenn.dev/shintarot/articles/820b211c7d64c5

対数を応用した計算

両辺の対数をとる

$a=b \quad$ ならば当然 $\quad \log_c a=\log_c b \quad$ ( $c$ は $1$ 以外の任意の正の数) だ。

これを利用して計算することを、「両辺の対数をとる」といって、指数を下に降ろしたいときなど便利。

ただ、たとえば $\log_1{3}$ という数は存在しない（ $1$ を何乗しても $3$ にはならない）ので、 $c$ は $1$ 以外の任意の正の数という制限がある。

例題

$3^x=5^{2x+1}$ のとき $x$ を求める。

両辺の対数をとると、

$$\begin{align*} \log{3^x} &= \log{5^{2x+1}} \\[0.5em] x\log{3} &= (2x+1)\log{5} \\[0.5em] &= 2x\log{5} + \log{5} \\[0.5em] x\log{3} - 2x\log{5} &= \log{5} \\[0.5em] x(\log{3}-2\log{5}) &= \log{5} \\[0.5em] x &= \frac{\log{5}}{\log{3} - 2\log{5}} \\[0.5em] &= \frac{1}{\frac{\log{3}}{\log{5}}-2} \\[0.5em] &= \frac{1}{\log_5{3} - 2} \end{align*}$$