対数関数の微分

定理

自然対数 $\ln{x}$ の微分

$$\text{定理:} \quad \frac{d}{dx}\ln{x} = \frac{1}{x}$$

対数 $\log_a{x}$ の微分

$$\text{定理:} \quad \frac{d}{dx}\log_a{x}=\frac{1}{x\ln{a}}$$

導出

自然対数の微分 $\frac{d}{dx}\ln{x}=\frac{1}{x}$ の導出

これは導関数の定義と 底 $e$ の定義から求まる。

$$\begin{align*} \frac{d}{dx}\log x&=\lim_{h \to 0}\frac{\ln (x+h)-\ln x}{h} \\[1em] &=\lim_{h \to 0}\frac{\ln \frac{x+h}{x}}{h} \\[1em] &=\lim_{h \to 0}\frac{\ln (1+\frac{h}{x})}{h} \\[1em] &=\lim_{h \to 0}\frac{1}{h}\ln (1+\frac{h}{x}) \\[1em] &=\lim_{h \to 0}\ln (1+\frac{h}{x})^\frac{1}{h} \end{align*}$$

ここで $\displaystyle e=\lim_{n \to \infty}(1+\frac{1}{n})^n$ なので、 $\displaystyle \ln \lim_{n \to \infty}(1+\frac{1}{n})^n =\ln e=1$ の形にしたい。

そのために $\frac{h}{x}=\frac{1}{n}$ と置く。

このとき $\quad h \to 0 \quad$ ならば $\quad \frac{h}{x}=\frac{1}{n} \to 0 \quad$ なので、$\quad n \to \infty \quad$ 。

$$\begin{align*} \frac{d}{dx}\log x&=\lim_{n \to \infty}\ln (1+\frac{1}{n})^\frac{n}{x} \\[1em] &=\lim_{n \to \infty}\frac{1}{x}\ln (1+\frac{1}{n})^n \\[1em] &=\frac{1}{x}\lim_{n \to \infty}\ln (1+\frac{1}{n})^n=\frac{1}{x}\ln \lim_{n \to \infty}(1+\frac{1}{n})^n \\[1em] &=\frac{1}{x}\times 1 \end{align*}$$

対数の微分 $\frac{d}{dx}\log_a{x}=\frac{1}{x\ln{a}}$ の導出

これには自然対数 $\displaystyle \frac{d}{dx}\ln{x}$ の微分を使う。

$$\begin{align*} \frac{d}{dx}\log_a x &= \frac{d}{dx} \times \frac{\ln x}{\ln a} \\[1em] &= \frac{d}{dx}\ln x\frac{1}{\ln a} \end{align*}$$

ここで、 $\displaystyle \frac{d}{dx}\ln x=\frac{1}{x}$ だから

$$\frac{d}{dx}\log_a x=\frac{1}{x} \times \frac{1}{\ln a}$$