はじめに
この記事では、統計検定準1級取得に向けて学習したことをまとめていきます。
工学系の数学ではなく数理あるあるの、論述ゴリゴリな解答になっていると思いますのであらかじめご了承ください。
注意：さらに計算過程は数学文化の『省略の美』を無視してエレファントに書いています。
【リンク紹介】
・統計検定準1級のまとめ記事一覧
・これまで書いたシリーズ記事一覧
学習書籍について
この記事では「統計学実践ワークブック」を中心に、学んだことをまとめていきます。記事を読んで本格的に勉強してみたいなと思った方は、是非ご購入を検討なさってください。
参考書籍について
統計実践ワークブックは、大量の知識項目と問題が収められている反面、計算過程や知識背景が大きく省略されているため、知識体系をきちんと学ぶ参考書として東京大学から出版されている名著「統計学入門」を使っています。
※ワークブックとしては素晴らしい質だと思いますが、どうしてもその内容量とページ数の都合上、問題のない範囲で削除されているということです。人によっては1冊で問題ない方もおられると思いますが、私には無理でした。
負の二項分布
ベルヌーイ試行において、r(>0)回目の成功が起こった時点で、それまでに起こった失敗の結果の数を、確率変数Xとする。このとき、Xの確率が
\begin{alignat*}{2}
P(X = x) &= {}_r H_{x} p^{r} (1 - p)^x \hspace{5mm} (x = 0, 1, 2, \cdots)
\end{alignat*}
であるとき、この確率関数{}_r H_{x} p^{r} (1 - p)^xをXの負の二項分布(negative binomial distribution)といい、NB(r, p)と表す（負の二項分布はパスカル分布ともいうらしい）。ただし、pは1回の試行において成功の結果がでる確率とし、{}_r H_{x}は、
\begin{alignat*}{2}
{}_r H_{x} &= {}_{x + r - 1} C_{x} \\
&= \cfrac{(x + r - 1)!}{x! ((x + r - 1) - x)!} \\
& （↑よく見る？{}_r H_{x}の変形式）\\
&= \cfrac{(x + r - 1)(x + r - 2) \cdots
(r + 1) r (r - 1) \cdots 1}
{x! (r - 1)!} \\
&= \cfrac{(x + r - 1)(x + r - 2) \cdots (r + 1) r}{x!} \\
& （↑ワークブックでの式①）\\
&= \cfrac{r (r + 1) \cdots (x + r - 2) (x + r - 1)}{x!} \\
& （↑ワークブックでの式②）\\
&= \cfrac{(-1)^x \cdot (-1)^x
(
r (r + 1) \cdots (x + r - 2) (x + r - 1)
)
}{x!} \\
&= (-1)^x \cfrac{(-r) (- r - 1) \cdots (-r - x + 1)}{x!} \\
&= (-1)^x
\cfrac{(-r) (- r - 1) \cdots (-r - x + 1) (-r - x) \cdots 1}
{x! (-r - x)!} \\
&= (-1)^x {}_{-r} C_{x} \\
& （↑負の二項分布の確率母関数で使用）\\
\end{alignat*}
である。ちなみにこの{}_{-r} C_{x}を負の二項係数という。
r = 1のとき、NB(1, p) = Geo(p)つまり幾何分布と等しくなる。
負の二項分布の期待値
E[X]：Xの期待値
E[X] = \cfrac{r(1 - p)}{p}
負の二項分布の分散
V[X]：Xの分散
V[X] = \cfrac{r(1 - p)}{p^2}
負の二項分布の確率母関数
G(s) = E[s^X]：Xの確率母関数
\begin{alignat*}{2}
G(s) &= E[s^X] \\
&= \sum_{x = 0}^{\infty} s^x \cdot {}_r H_{x} p^r (1 - p)^x \\
&= \sum_{x = 0}^{\infty} s^x \cdot (-1)^{x} {}_{-r} C_{x} p^r (1 - p)^x \\
&= p^r \sum_{x = 0}^{\infty} {}_{-r} C_{x} (-(1 - p)s)^x \\
&= p^r (1 - (1 - p)s)^{-r} \\
& （↑テイラー展開より）\\
&= \left( \cfrac{p^r}{1 - (1 - p)s} \right)^{-r},
\hspace{5mm} |s| < \cfrac{1}{1 - p} \\
\end{alignat*}
参考資料
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