カーネルトリックと米田の補題（３）圏論的フーリエ変換

これまでカーネルトリックについて思案してきた。それは絶妙な性質に基づいており、圏論的にほぐすことで興味深いつながりがいろいろ見えてくる。米田の補題もまたその一種であった。本記事ではフーリエ変換とのつながりを見、また圏論的フーリエ変換を見てみる。

ポントリャーギン双対

カーネルトリックの基本的な発想はデータ$Ω\Omega$を関数空間$[Ω,K][\Omega, K]$へ埋め込むことであった。もとより対象$AA$を調べるうえでその上の関数を考えること、すなわちHom函手$Hom(−,K)\mathrm{Hom}(-,K)$でHom送りにすることは数学の常套手段である。対象$AA$が何かよい数学的構造を持っており、その構造と整合する射（すなわち準同型）を考えると、射の集合$Hom(A,K)\mathrm{Hom}(A,K)$も制限を受けて何かしらのよい性質を獲得する。その例にポントリャーギン双対がある（記事が参考になる）。

$AA$がある代数構造（局所コンパクトハウスドルフ可換群）を持っている場合、円周（トーラス）$T\mathbb T$への準同型射の集合$A^≃Hom(A,T)\hat A \simeq \mathrm{Hom}(A,T)$にもまたその代数構造が入り、指標群と呼ばれる。さらに$G^^≃G\hat{\hat{G}}\simeq G$が成り立つ、というのがポントリャーギン双対のあらましである。

また$GG$上の$L2L^2$関数全体$L2(G)L^2(G)$に対し、指標群$G^≃Hom(G,T)\hat G\simeq \mathrm{Hom}(G,T)$の元がその基底を与える。たとえば$G≃TG\simeq \mathbb T$のとき$G^≃Z\hat G\simeq \mathbb Z$となり、指標は

$$χn(θ)=einθ \chi_n(\theta) = \mathrm{e}^{\mathrm i n \theta}$$

で与えられる。$L2(G)L^2(G)$の元$ϕ,ψ\phi, \psi$に対しては

$$ϕ(θ)=∑naneinθ,ψ(θ)=∑nbneinθ \phi(\theta) = \sum_{n} a_n\mathrm{e}^{\mathrm i n \theta},\quad \psi(\theta) = \sum_{n} b_n\mathrm{e}^{\mathrm i n \theta}$$

のように分解でき、

$$<ϕ,ψ>=12π∫dθ ϕˉ(θ)ψ(θ) \left<\phi,\psi\right> = \frac{1}{2\pi}\int \mathrm d\theta\, \bar \phi(\theta)\psi(\theta)$$

とすると

$$∑naˉnbn=<ϕ,ψ> \sum_n \bar a_n b_n = \left<\phi,\psi\right>$$

が成り立つ。すなわちパーセヴァルの等式である。

$G≃RG\simeq \mathbb R$のときは$G^\hat G$も$R\mathbb R$であり、指標はおなじみの

$$χk(x)=eikx\chi_k(x) = \mathrm e ^{\mathrm i kx}$$

である。これは$G^×G≃R×R\hat G\times G \simeq \mathbb R\times \mathbb R$上の関数だがカーネル関数にはなっていない（再生性は成立しない）。その代わり積分変換

$$Fϕ(k)=∫dx eikxϕ(x) \mathcal F_\phi(k) = \int dx\,\mathrm e ^{\mathrm i kx}\phi(x)$$

を定義する。そしてやはりパーセヴァルの等式

$$<ϕ,ψ>=<Fϕ,Fψ> \left<\phi,\psi\right> = \left<\mathcal F_\phi,\mathcal F_\psi\right>$$

が成り立つ。この内積が$L2(G)×L2(G)→CL^2(G)\times L^2(G)\rightarrow \mathbb C$なるカーネル関数を与えていると思えば、これもカーネルトリックと呼んで差し支えない。

圏論的フーリエ変換

profunctor や end については手前味噌だが他の記事を参照されたい。また本節の内容は書籍を参考にしている。

Promonoidal 構造と乗法的カーネル

いま圏$C\mathcal C$上の bi-profunctor $P:C×C↛CP:\mathcal C\times \mathcal C\nrightarrow \mathcal C$に対し、次のように表記することにする。

下のような函手$J:1→CJ:1\rightarrow \mathcal C$ と合わせて次の性質を満たすとき、圏$C\mathcal C$上のPromonoidal structure をこれらの組$(C,P,J)(\mathcal C,P,J)$で定める。

ここで $HH$はhomのことである。$PP$は結合律を満たす積に、$JJ$は単位元に対応している。もちろんこれらの結合は end で定義されている。

いま以下の性質を満たすprofunctor K を乗法的カーネルと呼ぶ。

K-フーリエ変換

いま $f:C→Setsf: \mathcal C \rightarrow \mathcal{Sets}$に対し乗法的カーネル$KK$による変換

$$FK[f]:X↦∫AK(A,X)⊗fA \mathcal F_K[f] : X \mapsto \int^A K(A,X)\otimes fA$$

（すなわちKan拡張$Kanよf\mathrm{Kan}_よf$）を$KK$-フーリエ変換と呼ぶ。また双対$KK$-フーリエ変換が

$$FK∨(g):Y↦∫A[K(A,X),gA] \mathcal F^\vee_K (g) : Y \mapsto \int_A [K(A,X),gA]$$

で定義される。*-autonomous 構造の下で

$$FK[f]≃FK∨[f∗]∗ \mathcal F_K[f] \simeq \mathcal F^\vee_K[f^*]^*$$

が成り立つ。また$∗*$を持つ圏$V\mathcal V$でenrichされた圏$C\mathcal C$において、函手$f,g:C→Vf,g:\mathcal C\rightarrow \mathcal V$に対する内積を

$$<f,g>=∫AfA∗⊗gA \left< f,g\right> = \int^A fA^*\otimes gA$$

で定める。すると圏論的パーセヴァルの等式

$$<f,g>≃<FK[f],FK[g]> \left< f,g\right> \simeq \left<\mathcal F_K[f],\mathcal F_K[g]\right>$$

が成立する。Dayは量子論への応用を期待しているようである。