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【統計検定準1級】対数正規分布

2024/07/30に公開

はじめに

この記事では、統計検定準1級取得に向けて学習したことをまとめていきます。
工学系の数学ではなく数理あるあるの、論述ゴリゴリな解答になっていると思いますのであらかじめご了承ください。
注意:さらに計算過程は数学文化の『省略の美』を無視してエレファントに書いています。

【リンク紹介】
統計検定準1級のまとめ記事一覧
これまで書いたシリーズ記事一覧

学習書籍について

この記事では「統計学実践ワークブック」を中心に、学んだことをまとめていきます。記事を読んで本格的に勉強してみたいなと思った方は、是非ご購入を検討なさってください。


参考書籍について

統計実践ワークブックは、大量の知識項目と問題が収められている反面、計算過程や知識背景が大きく省略されているため、知識体系をきちんと学ぶ参考書として東京大学から出版されている名著「統計学入門」を使っています。
※ワークブックとしては素晴らしい質だと思いますが、どうしてもその内容量とページ数の都合上、問題のない範囲で削除されているということです。人によっては1冊で問題ない方もおられると思いますが、私には無理でした。


対数正規分布

確率変数Xが連続型であるとする。また、X正規分布N(\mu, \sigma^2)に従うとする。ここで変数変換

Y = e^{X}

とおき、確率変数Y確率密度関数f

f(y) = \cfrac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma y} \exp \left( - \cfrac{(\log y - \mu)^2}{2 \sigma^2} \right) \hspace{5mm} (y > 0)

であるとき、この確率密度関数f対数正規分布(log-normal distribution)といい、\Lambda (\mu, \sigma^2)と表す。Y\Lambda(\mu, \sigma^2)のとき、\log Y(= X)N(\mu, \sigma^2)である。

指数分布の期待値

E[Y]Y期待値

E[Y] = \exp \left( \mu + \cfrac{1}{ \ 2 \ } \sigma^2 \right)

指数分布の分散

V[Y]Y分散

V[Y] = \exp(2 \mu + \sigma^2)(\exp(\sigma) - 1)

指数分布の確率母関数

m(\theta) = E[e^{\theta Y}]Yモーメント母関数

\begin{alignat*}{2} m(\theta) &= E[e^{\theta Y}] \\ &= \exp \left( \mu \theta + \cfrac{\sigma^2 \theta^2}{2} \right) \end{alignat*}

参考資料

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