【統計検定準1級】ポアソン分布

はじめに

この記事では、統計検定準1級取得に向けて学習したことをまとめていきます。
工学系の数学ではなく数理あるあるの、論述ゴリゴリな解答になっていると思いますのであらかじめご了承ください。
注意：さらに計算過程は数学文化の『省略の美』を無視してエレファントに書いています。

【リンク紹介】
・統計検定準1級のまとめ記事一覧
・これまで書いたシリーズ記事一覧

学習書籍について

この記事では「統計学実践ワークブック」を中心に、学んだことをまとめていきます。記事を読んで本格的に勉強してみたいなと思った方は、是非ご購入を検討なさってください。

参考書籍について

統計実践ワークブックは、大量の知識項目と問題が収められている反面、計算過程や知識背景が大きく省略されているため、知識体系をきちんと学ぶ参考書として東京大学から出版されている名著「統計学入門」を使っています。
※ワークブックとしては素晴らしい質だと思いますが、どうしてもその内容量とページ数の都合上、問題のない範囲で削除されているということです。人によっては1冊で問題ない方もおられると思いますが、私には無理でした。

ポアソン分布

$X$を非負整数の確率変数であるとする。このとき、$X$の確率が

$$\begin{alignat*}{2} P(X = x) &= p(x) \\ &= \cfrac{\lambda^x}{x !} e^{- \lambda} \hspace{5mm} (x = 0, 1, 2, \cdots)\\ \end{alignat*}$$

であるとき、この確率関数$p$をポアソン分布(Poisson distribution)といい、$Po(\lambda)$で表す。

確率密度関数=確率分布=分布
　統計学は数学の中でも特に、同じ意味なのにいろんな名前を持つものが多いですが、「分布」という言葉はこれまた非常に厄介です。
　結論から言うと、「分布」は「確率関数または確率密度関数」のことを指しています。多くの参考書籍の中では、なぜか同じ文章上で同時に出現する場合も多々ありますが、同じ意味です。※おそらく分布の定義の方が微妙に定義の幅が広いのですが、明らかに同義な使い方をしている場合がほとんどです。
　また、「○○分布」といわれるものはある特定の形の式の確率関数に対して付けられる名称であり、大雑把に言うと確率関数もしくは確率密度関数であることには変わりはありません。様々な分布の定義文を確認してみると、文章が曖昧な表現で書かれており、意味を正確に捉えづらいものが多いですが、意識してみると良いかもしれません。

ポアソン分布の再現性

$$「Y_1がPo(\lambda_1)に、Y_2がPo(\lambda_2)にそれぞれ従い、かつY_1とY_2が独立である」\\ ならば、Y_1 + Y_2はPo(\lambda_1 + \lambda_2)に従う。$$

ポアソン分布の期待値

$E[X]$：$X$の期待値

$$E[X] = \lambda$$

ポアソン分布の分散

$V[X]$：$X$の分散

$$V[X] = \lambda$$

ポアソン分布の確率母関数

$G(s) = E[s^X]$：$X$の確率母関数

$$\begin{alignat*}{2} G(s) &= E[s^X] \\ &= e^{\lambda (s - 1)} \end{alignat*}$$

例題

(「統計学実践ワークブック」より)
問5.4
あるサッカーの試合において、チーム$T1$があげた得点$X$およびチーム$T2$があげた得点$Y$がそれぞれ独立に平均1.5および3のポアソン分布に従うと仮定する。次の空欄に当てはまる数値または用語をこたえよ。
[1] 2チームの合計得点$X + Y$の従う分布は、平均が$\fbox{ ア }$、分散が$\fbox{ イ }$のポアソン分布である。
[2] 2チームの合計得点$X + Y$が5であるという条件のもとで、チーム$T1$の得点$X$が平均$\fbox{ ウ }$の$\fbox{ エ }$分布に従う。

解答

問5.4
[1] $X, Y$はそれぞれポアソン分布に従うことから、

$$E[X] = 1.5 \\ E[Y] = 3$$

である。まず$E[X + Y]$をもとめる。

$$\begin{alignat*}{2} E[X + Y] &= E[X] + E[Y] \\ &= 1.5 + 3 \\ &= \underline{4.5} \cdots \fbox{ ア } \end{alignat*}$$

次に$V[X + Y]$を求める。$X, Y$はそれぞれポアソン分布に従うことから、

$$V[X] = 1.5 \\ V[Y] = 3$$

であり、こちらも$X, Y$が独立であるので、

$$\begin{alignat*}{2} V[X + Y] &= V[X] + V[Y] \\ &= 1.5 + 3 \\ &= \underline{4.5} \cdots \fbox{ イ } \end{alignat*}$$(ポアソン分布の再現性を用いた解答)

$X, Y$はそれぞれポアソン分布$Po(1.5), Po(3)$に従い、かつ$X, Y$は独立であることから、
$X + Y$はポアソン分布$Po(1.5 + 3)$に従う。
よって平均、分散は$\underline{4.5}$

---

[2] $X + Y = 5$であるという条件の下で、$T1$の得点$X$が値$x$を取る確率$P(X=x|X+Y=5)$は、$X, Y$が独立である（注意：$X, Y$と書かれていて勘違いするかもしれないが、同時確率関数ではないので注意。高校数学の条件付き確率と同じものである）ことに注意すると、

$$\begin{alignat*}{2} P(X = x | X + Y = 5) &= \cfrac{P(X = x かつ X + Y = 5)}{P(X + Y = 5)} \\ &= \cfrac{P(X = x かつ Y = 5 - x)}{P(X + Y = 5)} \\ &= \cfrac{P(X = x) \cdot P(Y = 5 - x)}{P(X + Y = 5)} \\ &= \cfrac { \cfrac{1.5^{x}}{x!} \cdot e^{-1.5} \cdot \cfrac{3^{5 - x}}{(5 - x)!} \cdot e^{-3} } { \cfrac{(1.5 + 3)^{5}}{5!} \cdot e^{- (1.5 + 3)} } \\ &= \cfrac { \cfrac{1.5^{x}}{x!} \cdot \cfrac{3^{5 - x}}{(5 - x)!} \cdot e^{-4.5} } { \cfrac{4.5^{5}}{5!} \cdot e^{-4.5} } \\ &= \cfrac{5!}{x! (5 - x)!} \cdot \cfrac{1.5^x \cdot 3^{5 - x}}{4.5^{x + (5 - x)}} \\ &= {}_5 C_{x} \cdot \left( \cfrac{1.5}{ \ 4.5 \ } \right)^x \left( \cfrac{3}{ \ 4.5 \ } \right)^{5 - x} \\ &= {}_5 C_{x} \cdot \left( \cfrac{1}{ \ 3 \ } \right)^x \left( 1 - \cfrac{1}{ \ 3 \ } \right)^{5 - x} \\ \end{alignat*}$$

となる。これは$X + Y = 5$という条件のもとで、$X$は試行回数$5$、成功確率$\cfrac{1}{ \ 3 \ }$の二項分布$Bin \left(5, \cfrac{1}{ \ 3 \ } \right)$に従うことを意味する。したがって、この平均は

$$5 \cdot \cfrac{1}{ \ 3 \ } = \cfrac{5}{ \ 3 \ }$$

である。以上より、

$$\underline{\fbox{ ウ } = \cfrac{5}{ \ 3 \ }、\fbox{ エ } = 二項}$$

参考資料

• 日本統計学会(編集).日本統計学会認定 統計検定準１級対応 統計学実践ワークブック.学術図書出版社.2020
• 東京大学教養学部統計学教室.統計学入門(基礎統計学Ⅰ).東京大学出版会.1991
• 小寺 平治.新統計入門.裳華房.1996
• 稲垣 宣生, 山根 芳知, 吉田 光雄.統計学入門.裳華房.1992
• 長瀬道弘・芦野隆一.微分積分概説.サイエンス社.2007
• 加藤文元.チャート式シリーズ 大学教養 微分積分.数研出版.2024

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