【統計検定準1級】適合度検定

はじめに

この記事では、統計検定準1級取得に向けて学習したことをまとめていきます。
工学系の数学ではなく数理あるあるの、論述ゴリゴリな解答になっていると思いますのであらかじめご了承ください。
注意：さらに計算過程は数学文化の『省略の美』を無視してエレファントに書いています。

【リンク紹介】
・統計検定準1級のまとめ記事一覧
・これまで書いたシリーズ記事一覧

学習書籍について

この記事では「統計学実践ワークブック」を中心に、学んだことをまとめていきます。記事を読んで本格的に勉強してみたいなと思った方は、是非ご購入を検討なさってください。

参考書籍について

統計実践ワークブックは、大量の知識項目と問題が収められている反面、計算過程や知識背景が大きく省略されているため、知識体系をきちんと学ぶ参考書として東京大学から出版されている名著「統計学入門」を使っています。

適合度検定

データにある確率分布を当てはめるとき、当てはめの良さを検定するものを適合度検定という。

例題（一様性の適合度検定）

（「統計学入門」より）
あるサイコロをふったところ，出た目は次の通りであった。

1(20回)　2(12回)　3(9回)　4(16回)　5(11回)　6(22回)

これは公平なサイコロといえるか．

例題の解答

「公平なサイコロである」とは、各目の出る確率が$\cfrac{1}{6}$、つまり確率分布が（離散）一様分布であるということである。以上のことから、
「あてはまる確率分布は一様分布である」という仮説を帰無仮説$H_0$とし、
「当てはまる確率分布は一様分布ではない」という仮説を対立仮説$H_1$
として、統計的仮説検定を行う。ただし有意水準は$\alpha = 0.05$であると仮定する。

ここで、求めるにあたって次のことを定める。

サイコロの出た目（事象、カテゴリー、分類項目）を$E_i$とし、出た目$E_i$の回数（観測度数、実測度数）を$x_i$、$E_i$の理論確率を$p_i$、$E_i$の期待度数（理論値、理論度数）を$n p_i$とする。ただし、$i = 1, 2, 3, \cdots, 6$とし、$n = x_1 + x_2 + \cdots + x_6$とする。

これらを次のように表すこととする。

出た目	$E_1$	$E_2$	$E_3$	$E_4$	$E_5$	$E_6$	合計
出た目の回数 （観測度数）	$x_1$	$x_2$	$x_3$	$x_4$	$x_5$	$x_6$	$n$
理論確率	$p_1$	$p_2$	$p_3$	$p_4$	$p_5$	$p_6$	1
期待度数 （理論度数）	$n p_1$	$n p_2$	$n p_3$	$n p_4$	$n p_5$	$n p_6$	$n$

いろいろな適合度検定の表
適合度検定においては、このように計算に必要な情報を準備して表にまとめる方法がありますが、各要素の呼び名や変数としての文字が様々にあり、どれがメジャーというものもなさそうでした。

参考にする本によっては迷ってしまう方もいると思いますが、なるべく既知の用語を上記で併記しておいたので参考にされてください。

今、帰無仮説$H_0$と対立仮説$H_1$をそれぞれ次のように仮定する。

$$H_0 \ : \ すべてのiに対して \ p_i = \cfrac{1}{6} \\ H_1 \ : \ すべてのiに対して \ p_i \neq \cfrac{1}{6}$$

よって帰無仮説$H_0$を仮定して、仮定が棄却されるかを調べる。つまり

$$すべてのiに対して \ p_i = \cfrac{1}{6}$$

とする。ここで題意より、$E_1 = 1, E_2 = 2, \cdots, E_6$とすると、表は以下のようになる。

出た目	$E_1 = 1$	$E_2 = 2$	$E_3 = 3$	$E_4 = 4$	$E_5 = 5$	$E_6 = 6$	合計
出た目の回数 （観測度数）	$20$	$12$	$9$	$16$	$11$	$22$	$90$
理論確率	$\cfrac{1}{6}$	$\cfrac{1}{6}$	$\cfrac{1}{6}$	$\cfrac{1}{6}$	$\cfrac{1}{6}$	$\cfrac{1}{6}$	1
期待度数 （理論度数）	$15$	$15$	$15$	$15$	$15$	$15$	$90$

さらに、統計量$Y$を

$$Y = \sum_{i = 1}^{6} \cfrac{(x_i - n p_i)^2}{n p_i}$$

と定める（これをピアソンのカイ二乗統計量という。）。すると、$Y$は自由度$6 - 1 = 5$のカイ2乗分布に従う。よって有意水準が$\alpha = 0.05$であることとカイ2乗分布表を用いて、棄却域$R$を、

$$\begin{alignat*}{2} R &= \{ y | y > \chi^2_{0.05} (5)\} \\ &= \{ y | y > 11.07 \} \end{alignat*}$$

と定めると、$Y$の実現値$y$は

$$\begin{alignat*}{2} y &= \cfrac{1}{15} \left( (20 - 15)^2 + (12 - 15)^2 + (9 - 15)^2 + (16 - 15)^2 + (11 - 15)^2 + (22 - 15)^2 \right) \\ &= \cfrac{1}{15} \left( 25 + 9 + 36 + 1 + 16 + 49 \right) \\ &= \cfrac{136}{15} \\ &= 9.067 \notin R \end{alignat*}$$

したがって帰無仮説$H_0$は棄却されない。つまりあてはまる確率分布は一様分布である。
ちなみにこの検定を、カイ二乗適合度検定という。

参考資料

• 日本統計学会(編集).日本統計学会認定 統計検定準１級対応 統計学実践ワークブック.学術図書出版社.2020
• 東京大学教養学部統計学教室.統計学入門(基礎統計学Ⅰ).東京大学出版会.1991
• 小寺 平治.新統計入門.裳華房.1996
• 稲垣 宣生, 山根 芳知, 吉田 光雄.統計学入門.裳華房.1992
• 小林 正弘, 田畑 耕治.確率と統計: 一から学ぶ数理統計学 (数学のかんどころ 39).共立出版.2021
• 長瀬道弘・芦野隆一.微分積分概説.サイエンス社.2007
• 加藤文元.チャート式シリーズ 大学教養 微分積分.数研出版.2024

$\bf{\textcolor{red}{記事が役に立った方は「いいね」を押していただけると、すごく喜びます \ 笑}}$
ご協力のほどよろしくお願いします。