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【統計検定準1級】仮説検定

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数理統計
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仮説検定
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※最近すでに投稿している記事の加筆修正に時間を使っていて、新しい記事がなかなか進んでいません。この記事もまだまだ肉付けができていないのですが…一応上げます。

はじめに

この記事では、統計検定準1級取得に向けて学習したことをまとめていきます。
工学系の数学ではなく数理あるあるの、論述ゴリゴリな解答になっていると思いますのであらかじめご了承ください。
注意：さらに計算過程は数学文化の『省略の美』を無視してエレファントに書いています。

【リンク紹介】
・統計検定準1級のまとめ記事一覧
・これまで書いたシリーズ記事一覧

学習書籍について

この記事では「統計学実践ワークブック」を中心に、学んだことをまとめていきます。記事を読んで本格的に勉強してみたいなと思った方は、是非ご購入を検討なさってください。


参考書籍について

統計実践ワークブックは、大量の知識項目と問題が収められている反面、計算過程や知識背景が大きく省略されているため、知識体系をきちんと学ぶ参考書として東京大学から出版されている名著「統計学入門」を使っています。


また、今回定義のまとめにあたり「現代数理統計学」を中心に参考にしました。

0.前提知識の定義

Θ\Theta：母数空間
X\mathscr{X}：標本空間
xx：変数
XX：標本
tt：統計量

1.帰無仮説・対立仮説

母数空間Θ\Thetaが互いに排反な2つの部分集合Θ0,Θ1\Theta_0, \Theta_1に分けられているとする。つまり、以下が成り立つ。

Θ=Θ0∪Θ1,Θ0∩Θ1=∅ \Theta = \Theta_0 \cup \Theta_1, \hspace{5mm} \Theta_0 \cap \Theta_1 = \varnothing

1.1.帰無仮説

このとき、未知パラメータθ\thetaがΘ0\Theta_0に属しているとする仮説を帰無仮説(null hypothesis)といい、

H0 : θ∈Θ0 H_0 \ : \ \theta \in \Theta_0

と表す。

1.2.対立仮説

これに対し、未知パラメータθ\thetaがΘ1\Theta_1に属しているとする仮説を対立仮説(alternative hypothesis)といい、

H1 : θ∈Θ1 H_1 \ : \ \theta \in \Theta_1

と表す。

2.棄却・採択

2.1.棄却

対立仮説H1H_1が正しいと判断されたとき、帰無仮説 H0H_0 を棄却する(reject)という。
※「H0H_0が採択される」、「H0H_0を受容する」ともいう。

2.2.採択

帰無仮説H0H_0が正しいと判断されたとき、帰無仮説 H0H_0 を採択する(accept)という。
※「H0H_0は棄却される」ともいう。

3.棄却域・採択域

X\mathscr{X}の部分集合をRRとする。

3.1.棄却域

RRが帰無仮説H0H_0を棄却するような値の集まりであるとき、RRを棄却域(rejection region)という。

3.2.採択域

RRが棄却域であるとき、RRの補集合RcR^cを採択域(acceptance region)という。

4.検定統計量

例えば棄却域（または採択域）が、次のように統計量ttを用いて次のように定義されているとする。

R={x∣t(x)>c}(R2={x∣t(x)≦c}) R = \{ x | t(x) > c \} \\ (R^2 = \{ x | t(x) \leqq c \})

このとき、統計量ttを検定統計量(test statistic)という。
また、ccを棄却点または棄却限界(critical point)という。
（他に棄却限界値、臨界値(critical value)ともいう。）

参考資料

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