デュレーションと解約率変化に対するLTV変動率の関係

「経営学部のためのSaaSとサブスクリプションのデータ分析入門」の「SaaSの管理会計と経営データ分析」の章で平均継続期間(Average Duration)について紹介しました。
デュレーションと解約率変化に対するLTV変動率でもあります。

その関係式を導出します。

割引率$r=0r=0$としたとき、解約率$CCRCCR$、顧客あたり平均収益$ARPAARPA$とすると、$LTVLTV$は

$$LTV=∑t=0∞ARPA(1−CCR)t LTV=\sum_{t=0}^{\infty} ARPA (1-CCR)^t$$

です。$t=0t=0$のとき$(1−CCR)t=1(1-CCR)^t=1$なので、

$$LTV=∑t=0∞ARPA(1−CCR)t=ARPA+ARPA∑t=1∞(1−CCR)t \begin{align*} LTV&=\sum_{t=0}^{\infty} ARPA (1-CCR)^t \\ &=ARPA + ARPA \sum_{t=1}^{\infty} (1-CCR)^t\\ \end{align*}$$

と初項を取り出します。$LTVLTV$を解約率$CCRCCR$で微分します。

$$∂LTV∂CCR=0+ARPA∑t=1∞−t(1−CCR)t−1=−ARPA∑t=1∞t(1−CCR)t−1 \begin{align*} \frac{\partial LTV}{\partial CCR}&=0+ ARPA \sum_{t=1}^{\infty} -t (1-CCR)^{t-1}\\ &=- ARPA \sum_{t=1}^{\infty} t (1-CCR)^{t-1} \end{align*}$$

ここで、右辺に$1=CCR/CCR1=CCR/CCR$を掛けます。

$$∂LTV∂CCR=−ARPACCRCCR∑t=1∞t(1−CCR)t−1 \frac{\partial LTV}{\partial CCR}=- \frac{ARPA}{CCR} CCR \sum_{t=1}^{\infty} t (1-CCR)^{t-1}$$

顧客生涯価値(LTV,CLV)の数式変形より$LTV=ARPA/CCRLTV=ARPA/CCR$であり、サブスクリプションの平均継続期間(デュレーション)の数式変形より

$$AD=CCR∑t=1∞t(1−CCR)t−1 AD=CCR \sum_{t=1}^{\infty} t (1-CCR)^{t-1}$$

なので、

$$∂LTV∂CCR=−LTV⋅AD \frac{\partial LTV}{\partial CCR}=- LTV \cdot AD$$

となります。両辺を$−LTV-LTV$で割ると

$$−1LTV∂LTV∂CCR=AD - \frac{1}{LTV} \frac{\partial LTV}{\partial CCR}= AD$$

となります。これはデュレーションが微小解約率変化に対する微小LTV変動率という意味になります。近似的に

$$−1LTVΔLTVΔCCR≃AD - \frac{1}{LTV} \frac{\Delta LTV}{\Delta CCR} \simeq AD\\$$

であり、LTV変動率に関しての式に表すと、

$$ΔLTVLTV≃−AD⋅ΔCCR \frac{\Delta LTV}{LTV} \simeq - AD \cdot \Delta CCR$$

となります。

実際に、解約率2%周りでの微小解約率変化に対するLTV変動率は、解約率が0.1%上昇し2.1%になるとLTVが5%下落するという計算になります。