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顧客生涯価値(LTV,CLV)の数式変形

2023/10/21に公開

「経営学部のためのSaaSとサブスクリプションのデータ分析入門」の「SaaSの管理会計と経営データ分析」の章で顧客生涯価値(LTV,CLV)の式を紹介しました。

LTV \simeq \frac{ARPA(1+r)}{r+CCR} \simeq \frac{ARPA}{CCR}

このLTVの式を導出します。(数式でも式変形でも検索に引っかかりやすいように「数式変形」というタイトルにしてみました)
なお、等比級数の和の公式は私が覚えられないので使いません。

期間t、カスタマーチャーンレートCCR(>0)、割引率r(\geq 0)とします。顧客生涯価値LTV

\begin{aligned} LTV&=\sum_{t=0}^{\infty}\frac{ARPA(1-CCR)^t}{(1+r)^t}\\ &=\lim_{t \to \infty} \sum_{t=0}^{T}\frac{ARPA(1-CCR)^t}{(1+r)^t} \end{aligned}

です。期間を無限大ではなく、期間Tまでの総和で考えます。

\begin{aligned} LTV_{(T)}&=\sum_{t=0}^{T}\frac{ARPA(1-CCR)^t}{(1+r)^t}\\ &=ARPA+\frac{ARPA(1-CCR)}{(1+r)}+\cdots +\frac{ARPA(1-CCR)^T}{(1+r)^T} \end{aligned}

両辺に、\frac{1-CCR}{1+r}を掛けたものは、

\frac{1-CCR}{1+r}LTV_{(T)}=\frac{ARPA(1-CCR)}{(1+r)}+\cdots +\frac{ARPA(1-CCR)^T}{(1+r)^T}+\frac{ARPA(1-CCR)^{T+1}}{(1+r)^{T+1}}

です。LTV_{(T)}から\frac{1-CCR}{1+r}LTV_{(T)}を引きます。

\begin{aligned} LTV_{(T)}&=ARPA+\frac{ARPA(1-CCR)}{(1+r)}+\cdots +\frac{ARPA(1-CCR)^T}{(1+r)^T}\\ \frac{1-CCR}{1+r}LTV_{(T)}&=\frac{ARPA(1-CCR)}{(1+r)}+\cdots +\frac{ARPA(1-CCR)^T}{(1+r)^T}+\frac{ARPA(1-CCR)^{T+1}}{(1+r)^{T+1}}\\ (1-\frac{1-CCR}{1+r})LTV_{(T)}&=ARPA-\frac{ARPA(1-CCR)^{T+1}}{(1+r)^{T+1}} \end{aligned}

左辺は、

\begin{aligned} (1-\frac{1-CCR}{1+r})LTV_{(T)}&=\frac{(1+r)-(1-CCR)}{1+r}LTV_{(T)}\\ &=\frac{r+CCR}{1+r}LTV_{(T)} \end{aligned}

です。一方、右辺は、

ARPA-\frac{ARPA(1-CCR)^{T+1}}{(1+r)^{T+1}}=ARPA(1-\frac{(1-CCR)^{T+1}}{(1+r)^{T+1}})

です。CCR>0のとき、両辺に\frac{1+r}{r+CCR}

を掛けると、

LTV_{(T)}=\frac{ARPA(1+r)}{r+CCR}(1-\frac{(1-CCR)^{T+1}}{(1+r)^{T+1}})

となります。

t \to \inftyのとき、(1-CCR)^{T+1}は0で、(1+r)^{T+1}は割引率r(\geq 0)より1以上なので。

\begin{aligned} LTV&=\lim_{t \to \infty}\frac{ARPA(1+r)}{r+CCR}(1-\frac{(1-CCR)^{T+1}}{(1+r)^{T+1}})\\ &=\frac{ARPA(1+r)}{r+CCR}(1-0)\\ &=\frac{ARPA(1+r)}{r+CCR}\\ \end{aligned}

となります。特に、r=0のとき、

LTV=\frac{ARPA}{CCR}

です。

デュレーションやユニット・エコノミクスの式変形は別記事で説明します。

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