顧客生涯価値(LTV,CLV)の数式変形

「経営学部のためのSaaSとサブスクリプションのデータ分析入門」の「SaaSの管理会計と経営データ分析」の章で顧客生涯価値(LTV,CLV)の式を紹介しました。

$$LTV≃ARPA(1+r)r+CCR≃ARPACCR LTV \simeq \frac{ARPA(1+r)}{r+CCR} \simeq \frac{ARPA}{CCR}$$

この$LTVLTV$の式を導出します。(数式でも式変形でも検索に引っかかりやすいように「数式変形」というタイトルにしてみました)
なお、等比級数の和の公式は私が覚えられないので使いません。

期間$tt$、カスタマーチャーンレート$CCR(>0)CCR(>0)$、割引率$r(≥0)r(\geq 0)$とします。顧客生涯価値$LTVLTV$は

$$LTV=∑t=0∞ARPA(1−CCR)t(1+r)t=lim⁡t→∞∑t=0TARPA(1−CCR)t(1+r)t \begin{aligned} LTV&=\sum_{t=0}^{\infty}\frac{ARPA(1-CCR)^t}{(1+r)^t}\\ &=\lim_{t \to \infty} \sum_{t=0}^{T}\frac{ARPA(1-CCR)^t}{(1+r)^t} \end{aligned}$$

です。期間を無限大ではなく、期間$TT$までの総和で考えます。

$$LTV(T)=∑t=0TARPA(1−CCR)t(1+r)t=ARPA+ARPA(1−CCR)(1+r)+⋯+ARPA(1−CCR)T(1+r)T \begin{aligned} LTV_{(T)}&=\sum_{t=0}^{T}\frac{ARPA(1-CCR)^t}{(1+r)^t}\\ &=ARPA+\frac{ARPA(1-CCR)}{(1+r)}+\cdots +\frac{ARPA(1-CCR)^T}{(1+r)^T} \end{aligned}$$

両辺に、$1−CCR1+r\frac{1-CCR}{1+r}$を掛けたものは、

$$1−CCR1+rLTV(T)=ARPA(1−CCR)(1+r)+⋯+ARPA(1−CCR)T(1+r)T+ARPA(1−CCR)T+1(1+r)T+1 \frac{1-CCR}{1+r}LTV_{(T)}=\frac{ARPA(1-CCR)}{(1+r)}+\cdots +\frac{ARPA(1-CCR)^T}{(1+r)^T}+\frac{ARPA(1-CCR)^{T+1}}{(1+r)^{T+1}}$$

です。$LTV(T)LTV_{(T)}$から$1−CCR1+rLTV(T)\frac{1-CCR}{1+r}LTV_{(T)}$を引きます。

$$LTV(T)=ARPA+ARPA(1−CCR)(1+r)+⋯+ARPA(1−CCR)T(1+r)T1−CCR1+rLTV(T)=ARPA(1−CCR)(1+r)+⋯+ARPA(1−CCR)T(1+r)T+ARPA(1−CCR)T+1(1+r)T+1(1−1−CCR1+r)LTV(T)=ARPA−ARPA(1−CCR)T+1(1+r)T+1 \begin{aligned} LTV_{(T)}&=ARPA+\frac{ARPA(1-CCR)}{(1+r)}+\cdots +\frac{ARPA(1-CCR)^T}{(1+r)^T}\\ \frac{1-CCR}{1+r}LTV_{(T)}&=\frac{ARPA(1-CCR)}{(1+r)}+\cdots +\frac{ARPA(1-CCR)^T}{(1+r)^T}+\frac{ARPA(1-CCR)^{T+1}}{(1+r)^{T+1}}\\ (1-\frac{1-CCR}{1+r})LTV_{(T)}&=ARPA-\frac{ARPA(1-CCR)^{T+1}}{(1+r)^{T+1}} \end{aligned}$$

左辺は、

$$(1−1−CCR1+r)LTV(T)=(1+r)−(1−CCR)1+rLTV(T)=r+CCR1+rLTV(T) \begin{aligned} (1-\frac{1-CCR}{1+r})LTV_{(T)}&=\frac{(1+r)-(1-CCR)}{1+r}LTV_{(T)}\\ &=\frac{r+CCR}{1+r}LTV_{(T)} \end{aligned}$$

です。一方、右辺は、

$$ARPA−ARPA(1−CCR)T+1(1+r)T+1=ARPA(1−(1−CCR)T+1(1+r)T+1) ARPA-\frac{ARPA(1-CCR)^{T+1}}{(1+r)^{T+1}}=ARPA(1-\frac{(1-CCR)^{T+1}}{(1+r)^{T+1}})$$

です。$CCR>0CCR>0$のとき、両辺に$1+rr+CCR\frac{1+r}{r+CCR}$

を掛けると、

$$LTV(T)=ARPA(1+r)r+CCR(1−(1−CCR)T+1(1+r)T+1) LTV_{(T)}=\frac{ARPA(1+r)}{r+CCR}(1-\frac{(1-CCR)^{T+1}}{(1+r)^{T+1}})$$

となります。

$t→∞t \to \infty$のとき、$(1−CCR)T+1(1-CCR)^{T+1}$は0で、$(1+r)T+1(1+r)^{T+1}$は割引率$r(≥0)r(\geq 0)$より1以上なので。

$$LTV=lim⁡t→∞ARPA(1+r)r+CCR(1−(1−CCR)T+1(1+r)T+1)=ARPA(1+r)r+CCR(1−0)=ARPA(1+r)r+CCR \begin{aligned} LTV&=\lim_{t \to \infty}\frac{ARPA(1+r)}{r+CCR}(1-\frac{(1-CCR)^{T+1}}{(1+r)^{T+1}})\\ &=\frac{ARPA(1+r)}{r+CCR}(1-0)\\ &=\frac{ARPA(1+r)}{r+CCR}\\ \end{aligned}$$

となります。特に、$r=0r=0$のとき、

$$LTV=ARPACCR LTV=\frac{ARPA}{CCR}$$

です。

デュレーションやユニット・エコノミクスの式変形は別記事で説明します。