「経営学部のためのSaaSとサブスクリプションのデータ分析入門」の「SaaSの管理会計と経営データ分析」の章で顧客生涯価値(LTV,CLV)の式を紹介しました。
LTV \simeq \frac{ARPA(1+r)}{r+CCR} \simeq \frac{ARPA}{CCR}
このLTVの式を導出します。(数式でも式変形でも検索に引っかかりやすいように「数式変形」というタイトルにしてみました)
なお、等比級数の和の公式は私が覚えられないので使いません。
期間t、カスタマーチャーンレートCCR(>0)、割引率r(\geq 0)とします。顧客生涯価値LTVは
\begin{aligned}
LTV&=\sum_{t=0}^{\infty}\frac{ARPA(1-CCR)^t}{(1+r)^t}\\
&=\lim_{t \to \infty} \sum_{t=0}^{T}\frac{ARPA(1-CCR)^t}{(1+r)^t}
\end{aligned}
です。期間を無限大ではなく、期間Tまでの総和で考えます。
\begin{aligned}
LTV_{(T)}&=\sum_{t=0}^{T}\frac{ARPA(1-CCR)^t}{(1+r)^t}\\
&=ARPA+\frac{ARPA(1-CCR)}{(1+r)}+\cdots +\frac{ARPA(1-CCR)^T}{(1+r)^T}
\end{aligned}
両辺に、\frac{1-CCR}{1+r}を掛けたものは、
\frac{1-CCR}{1+r}LTV_{(T)}=\frac{ARPA(1-CCR)}{(1+r)}+\cdots +\frac{ARPA(1-CCR)^T}{(1+r)^T}+\frac{ARPA(1-CCR)^{T+1}}{(1+r)^{T+1}}
です。LTV_{(T)}から\frac{1-CCR}{1+r}LTV_{(T)}を引きます。
\begin{aligned}
LTV_{(T)}&=ARPA+\frac{ARPA(1-CCR)}{(1+r)}+\cdots +\frac{ARPA(1-CCR)^T}{(1+r)^T}\\
\frac{1-CCR}{1+r}LTV_{(T)}&=\frac{ARPA(1-CCR)}{(1+r)}+\cdots +\frac{ARPA(1-CCR)^T}{(1+r)^T}+\frac{ARPA(1-CCR)^{T+1}}{(1+r)^{T+1}}\\
(1-\frac{1-CCR}{1+r})LTV_{(T)}&=ARPA-\frac{ARPA(1-CCR)^{T+1}}{(1+r)^{T+1}}
\end{aligned}
左辺は、
\begin{aligned}
(1-\frac{1-CCR}{1+r})LTV_{(T)}&=\frac{(1+r)-(1-CCR)}{1+r}LTV_{(T)}\\
&=\frac{r+CCR}{1+r}LTV_{(T)}
\end{aligned}
です。一方、右辺は、
ARPA-\frac{ARPA(1-CCR)^{T+1}}{(1+r)^{T+1}}=ARPA(1-\frac{(1-CCR)^{T+1}}{(1+r)^{T+1}})
です。CCR>0のとき、両辺に\frac{1+r}{r+CCR}
を掛けると、
LTV_{(T)}=\frac{ARPA(1+r)}{r+CCR}(1-\frac{(1-CCR)^{T+1}}{(1+r)^{T+1}})
となります。
t \to \inftyのとき、(1-CCR)^{T+1}は0で、(1+r)^{T+1}は割引率r(\geq 0)より1以上なので。
\begin{aligned}
LTV&=\lim_{t \to \infty}\frac{ARPA(1+r)}{r+CCR}(1-\frac{(1-CCR)^{T+1}}{(1+r)^{T+1}})\\
&=\frac{ARPA(1+r)}{r+CCR}(1-0)\\
&=\frac{ARPA(1+r)}{r+CCR}\\
\end{aligned}
となります。特に、r=0のとき、
です。
デュレーションやユニット・エコノミクスの式変形は別記事で説明します。
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