Anderson-Darling(アンダーソン・ダーリング)検定｜正規性検定

概要

データが正規分布に従っているかどうかを検定する方法

主な用途

パターン	説明	実務ユースケース
正規性の事前確認	t検定などパラメトリック手法の前提を確認	施策前後の効果検証における差分の正規性チェック
単変量の分布検定	1変量の数値データの正規性を評価	CV率、売上などの分布チェック

外れ値や裾の偏りに強く反応し、分布全体の形状（特に端）を考慮した
正規性の「厳しめな」評価が可能

データ要件

• 従属変数：数値型（例：差分、CV率、売上）
• 独立変数：存在しない ※比較対象があるわけではなく、1つのデータ分布に使用されるため
• 前提条件：
  　特になし（データが連続値であれば使用可）
  　※標本サイズの制限なし。特に裾（両端）のズレに敏感で精度が高い

理論

データが正規分布に従うかを検定
　- 帰無仮説：データは正規分布に従う
　- 対立仮説：正規分布に従わない（両側検定）　※片側検定は存在しない

【検定の手順】

1. データを昇順に並べる

2. データを標準化
   データを標本平均 $\bar{x}$ と標準偏差 $s$ で標準化し、標準正規分布 $N(0,1)$ に当てはめる

$$z_i = \frac{ x_i - \bar{x} }{s}$$

3. 理論分布（標準正規分布）の累積分布関数（CDF）を計算
   並べたデータ $x_{(i)}$ に対して、それぞれの 正規分布の累積確率 $F(x_{(i)})$ を求める

4. 統計量$A^2$の算出

$$A^2 = -n - \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \left[ (2i - 1) \cdot \left\{ \ln F(x_{(i)}) + \ln \left(1 - F(x_{(n+1-i)}) \right) \right\} \right]$$

• $n$：標本サイズ
• $F(x)$：理論分布（多くの場合、標準正規分布）の累積分布関数（CDF）
• $x_{(i)}$：昇順に並べたデータ

$A^2$ は正規分布との整合度を示す数値で、特にデータの両端（裾）に重みを置いて評価。
0に近いほど正規分布に近いと判断される（＝Shapiro-Wilk検定と逆）

5. 補正を加えた統計量$A^{2}$の算出
   標本サイズに応じて、以下のように補正：

$$A^{2*} = A^2 \left( 1 + \frac{0.75}{n} + \frac{2.25}{n^2} \right)$$

補正により、小さい標本サイズでも適切な検定が行いやすくなる

6. 有意水準に対応した臨界値との比較（p値の代替）
   $A^{2*} >$ 臨界値（例：5%水準の値） → 正規性を棄却
   $A^{2*} \leq$ 臨界値 → 正規性を棄却できない

scipy.stats.andersonライブラリでは、p値の算出は容易されておらず、
あらかじめ用意された 有意水準ごとの臨界値 と $A^2$ を比較

実装コード例

Python

from scipy.stats import anderson

# 差分データ
diff = df['before'] - df['after']

# Anderson-Darling検定 ※p値は出ない
result = anderson(diff, dist='norm')
print(f"AD検定統計量 = {result.statistic:.3f}")
for cv, sig in zip(result.critical_values, result.significance_level):
    print(f"有意水準 {sig}%：臨界値 = {cv:.3f}")

# 評価（5%水準）
if result.statistic < result.critical_values[2]: # 通常、5%水準はindex=2
    print("→ 差分データは正規分布に従うとみなせません。")
else:
    print("→ 差分データは正規分布に従うとみなせます。")

補足：distパラメータの指定について
dist='norm'：正規分布との比較（デフォルト）
dist='expon'：指数分布との比較
dist='logistic'：ロジスティック分布との比較

注意点・Tips

• 裾（両端）のズレに非常に敏感：Shapiroよりも厳しい判定になることも
  → 他正規性手法(Shapiro-WilkやK-S検定)との併用を推奨
• p値が出ない：統計量と臨界値を比較して判断
• サンプル数が多くても使用可能（Shapiroのようなn上限なし）
• 正規分布以外も検定可能（指数、ロジスティックなど）
• 可視化との併用が有効（Q-Qプロット、ヒストグラムなど）

ケーススタディ

🔗学習効果の評価
🔗キャンペーン施策の効果測定

関連手法

• 前提条件に関連する手法
  • Q-Qプロット（視覚的な正規性チェック）
• 類似手法
  • Shapiro-Wilk検定（小規模向けで強力）
  • Kolmogorov-Smirnov検定（最大のズレを評価）
• 関連手法
  • 対応のあるt検定

参考リンク・文献

• scipy.stats.anderson｜公式リファレンス
• 正規分布の基本的な性質｜AVILEN
• アンダーソン–ダーリング検定｜Wikipedia