【統計検定準1級】超幾何分布

はじめに

この記事では、統計検定準1級取得に向けて学習したことをまとめていきます。
工学系の数学ではなく数理あるあるの、論述ゴリゴリな解答になっていると思いますのであらかじめご了承ください。
注意：さらに計算過程は数学文化の『省略の美』を無視してエレファントに書いています。

【リンク紹介】
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・これまで書いたシリーズ記事一覧

学習書籍について

この記事では「統計学実践ワークブック」を中心に、学んだことをまとめていきます。記事を読んで本格的に勉強してみたいなと思った方は、是非ご購入を検討なさってください。

参考書籍について

統計実践ワークブックは、大量の知識項目と問題が収められている反面、計算過程や知識背景が大きく省略されているため、知識体系をきちんと学ぶ参考書として東京大学から出版されている名著「統計学入門」を使っています。
※ワークブックとしては素晴らしい質だと思いますが、どうしてもその内容量とページ数の都合上、問題のない範囲で削除されているということです。人によっては1冊で問題ない方もおられると思いますが、私には無理でした。

超幾何分布

2種類$A, B$からなる$N$個のものがあるとする。また、それぞれの個数を$M, N - M$とする（$N, M$は自然数）。この集団から非復元無作為抽出で$n$個取り出したとき、$A$が$x$個、$B$が$n - x$個であるとする。このとき、$x$の確率関数$p$が

$$\begin{alignat*}{2} P(X = x) &= p(x) \\ &= \cfrac{{}_M C_x \cdot {}_{N - M} C_{n - x}}{{}_N C_n} \\ \end{alignat*} \\ (Max(0, n - (N - M)) \leqq x \leqq Min(n, M)$$

であるとき、この確率関数$p$を超幾何分布(hypergeometric distribution)といい、$HG(N, M, n)$で表す。

確率密度関数=確率分布=分布
　統計学は数学の中でも特に、同じ意味なのにいろんな名前を持つものが多いですが、「分布」という言葉はこれまた非常に厄介です。
　結論から言うと、「分布」は「確率関数または確率密度関数」のことを指しています。多くの参考書籍の中では、なぜか同じ文章上で同時に出現する場合も多々ありますが、同じ意味です。※おそらく分布の定義の方が微妙に定義の幅が広いのですが、明らかに同義な使い方をしている場合がほとんどです。
　また、「○○分布」といわれるものはある特定の形の式の確率関数に対して付けられる名称であり、大雑把に言うと確率関数もしくは確率密度関数であることには変わりはありません。様々な分布の定義文を確認してみると、文章が曖昧な表現で書かれており、意味を正確に捉えづらいものが多いですが、意識してみると良いかもしれません。

超幾何分布の期待値

$E[X]$：$X$の期待値

$$E[X] = n \cdot \cfrac{M}{N}$$

超幾何分布の分散

$V[X]$：$X$の分散

$$V[X] = n \cdot \cfrac{M}{N} \cdot \left( 1 - \cfrac{M}{N} \right) \cdot \cfrac{N - n}{N - 1}$$

例題

(「統計学実践ワークブック」より)
問5.2
$A$町に住む40歳代前半の男女から79人を無作為に選び、就業者と非就業者の数を集計したところ、次のようになった。

	就業者	非就業者	計
男性	40	2	42
女性	26	11	37
計	66	13	79

表の79人から25人を無作為に選ぶとき、その25人のうち、男性で就業者の人数$X$は長期化分布に従う。$X$の確率関数$P(X = x)$を求めよ。

問5.3
ある9人のグループのうち3人は関東地方出身者、他の6人は関東地方以外の出身者であった。この9人の中から無作為非復元抽出によって選ばれた4人の標本を$X_i \ (i = 1, 2, 3, 4)$とおく。ただし、$i$番目の人が関東地方出身者のとき$X_i = 1$、$i$番目の人が関東地方以外の出身者のとき$X_i = 0$である。
[1] $X_i^{2}$の期待値$E[X_i^{2}]$を求めよ。
[2] $X_i, X_j, i \neq j$に対し$E[X_i X_j]$を求めよ。
[3] 標本平均$\overline{X} = \cfrac{1}{4} \displaystyle\sum_{i = 1}^{4} X_i$の分散$V[\overline{X}]$を求めよ。

解答

問5.2
題意より、$X$は超幾何分布に従うため、確率関数$p$は$HG(79, 40, 25)$と表せる。したがって、$P(X = x)$は

$$\begin{alignat*}{2} P(X = x) &= p(x) \\ &= \cfrac{{}_{40} C_{x} \cdot {}_{79 - 40} C_{25 - x}}{{}_{79} C_{25}} \\ &= \underline{ \cfrac{{}_{40} C_{x} \cdot {}_{39} C_{25 - x}}{{}_{79} C_{25}} \hspace{5mm} (0 \leqq x \leqq 25) } \end{alignat*}$$

---

問5.3
※この問は実は超幾何分布に関するものではありませんが、似ている（？）部分があります。是非何が似ていて何が違うのかを考えてみてはいかがでしょうか。

[1]
$X_i$の取りうる値は、題意より0と1であるから、求める$X_i^2$の期待値$E[X_i^2]$は、

$$\begin{alignat*}{2} E[X_i^2] &= 0^2 \cdot P(X_i = 0) + 1^2 \cdot P(X_i = 1) \\ &= P(X_i = 1) \end{alignat*}$$

である。ただし、$P(X_i)$は$X_i$の確率である。よって、$P(X_i = 1)$の値を求めればよい。
ここで、$X_i = 1$となる確率とはつまり、「9人の中から無作為非復元抽出によって選ばれた4人のうち、$i$番目が(3人のうちの)関東地方出身者である確率」である。この確率は次のように考えることができる。

$$\cfrac{(3人のうちi番目の人を1人選んで並べる) \times (残った8人のうちから3人選んで並べる)}{i番目を固定せずに9人のうちから4人選んで並べる}$$

つまりは、$i$番目の人は必ず関東地方出身者でなければならないため、第一条件として先に考え、その後残った8人で3人の枠を埋めるという考え方である。

以上より、確率$P(X_i = 1)$は、

$$\begin{alignat*}{2} P(X_i = 1) &= \cfrac{{}_{3} P_{1} \cdot {}_{9 - 1} P_{4 - 1}}{{}_{9} P_{4}} \\ &= \underline{\cfrac{ \ 1 \ }{3}} \end{alignat*}$$

---

[2]

$$\begin{alignat*}{2} E[X_i X_j] &= \sum_{x_i = 0}^{1} \sum_{x_j = 0}^{1} x_i x_j P(X_i = x_i, X_j = x_j) \\ &= 0 \cdot 0 \cdot P(X_i = 0, X_j = 0) + 0 \cdot 1 \cdot P(X_i = 0, X_j = 1) + 1 \cdot 0 \cdot P(X_i = 1, X_j = 0) + 1 \cdot 1 \cdot P(X_i = 1, X_j = 1) \\ &= 1 \cdot 1 \cdot P(X_i = 1, X_j = 1) \\ &= \cfrac{{}_3 P_{2} \cdot {}_7 P_{2}}{{}_9 P_{4}} \\ &= \underline{\cfrac{ \ 1 \ }{12}} \end{alignat*}$$

---

[3]

$$\begin{alignat*}{2} V[\overline{X}] &= V \left[\cfrac{1}{4} \sum_{i = 1}^{4} X_i \right] \\ &= \cfrac{1}{16} V \left[\sum_{i = 1}^{4} X_i \right] \\ &= \cfrac{1}{16} \left( \underline{ \sum_{i = 1}^{4} V[X_i] + 2 \sum_{i < j} Cov[X_i, X_j] } \right) \text{※下の注意事項参照} \end{alignat*}$$

この問題では直接意味はありませんが、上の式をさらに細かくばらすと次のようになります。

$$V[\overline{X}] = \cfrac{1}{16} \left( V[X_1] + V[X_2] + V[X_3] + V[X_4] + 2 Cov[X_1, X_2] + 2 Cov[X_1, X_3] + 2 Cov[X_1, X_4] + 2 Cov[X_2, X_3] + 2 Cov[X_2, X_4] + 2 Cov[X_3, X_4] \right)$$

ここで、$V[X_i]$、$Cov[X_i, X_j]$の値をそれぞれ求める。
$V[X_i]$について、

$$\begin{alignat*}{2} V[X_i] &= E[X_{i}^{2}] - \left( E[X_i] \right)^2 \\ &= \cfrac{1}{3} - \cfrac{1}{9} \\ &= \cfrac{2}{9} \end{alignat*}$$

$Cov[X_i, X_j]$について、

$$\begin{alignat*}{2} Cov[X_i, X_j] &= E[X_i X_j] - E[X_i]E[X_j] \\ &= \cfrac{1}{12} - \cfrac{1}{3} \cdot \cfrac{1}{3} \\ &= - \cfrac{1}{36} \end{alignat*}$$

以上より、

$$\begin{alignat*}{2} V[\overline{X}] &= \cfrac{1}{16} \left( \sum_{i = 1}^{4} V[X_i] + 2 \sum_{i < j} Cov[X_i, X_j] \right) \\ &= \cfrac{1}{16} \left( 4 \cdot \cfrac{2}{9} + 2 \cdot 6 \cdot \left( - \cfrac{1}{36} \right) \right) \\ &= \cfrac{1}{16} \left( \cfrac{8}{9} - \cfrac{1}{3} \right) \\ &= \cfrac{1}{16} \cdot \cfrac{5}{9} \\ &= \underline{\cfrac{5}{ \ 144 \ }} \end{alignat*}$$

確率変数の和の分散の一般式の表記について

確率変数$X_1, X_2, \cdots, X_n$の和の分散の式$V[X_1 + X_2 + \cdots + X_n]$は、複数の参考文献を見るとおおよそ次の表記が見られます。

$$V[X_1 + X_2 + \cdots + X_n] = \sum_{i = 1}^{n} V[X_i] + \underline{ 2 \sum_{i < j} Cov[X_i, X_j] }$$

しかし、今回のワークブックでの解説で使用されている公式は次の表記になっています。

$$V[X_1 + X_2 + \cdots + X_n] = \sum_{i = 1}^{n} V[X_i] + \underline{ \sum_{i \neq j} Cov[X_i, X_j] }$$

戸惑われる方がいたかもしれませんが、結論としてはどちらも同じ意味です。つまり、

$$2 \sum_{i < j} Cov[X_i, X_j] = \sum_{i \neq j} Cov[X_i, X_j]$$

が成り立ちます。違いは、右辺は大小関係がないためそれぞれの共分散を記述できるが、左辺は大小関係があるため記述ができないことです。

例えば、右辺では$Cov[X_2, X_1]$は記述できますが、左辺では$Cov[X_2, X_1]$が記述ができないようにな条件になっているのです。しかし、

$$Cov[X_1, X_2] = Cov[X_2, X_1]$$

であるから、左辺では$Cov[X_1, X_2] + Cov[X_2, X_1]$の代わりに$2 Cov[X_1, X_2]$と書いてしまえば分散の値は同じになるので問題ない、ということです。

参考資料

• 日本統計学会(編集).日本統計学会認定 統計検定準１級対応 統計学実践ワークブック.学術図書出版社.2020
• 東京大学教養学部統計学教室.統計学入門(基礎統計学Ⅰ).東京大学出版会.1991
• 小寺 平治.新統計入門.裳華房.1996
• 稲垣 宣生, 山根 芳知, 吉田 光雄.統計学入門.裳華房.1992
• 長瀬道弘・芦野隆一.微分積分概説.サイエンス社.2007
• 加藤文元.チャート式シリーズ 大学教養 微分積分.数研出版.2024

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