【統計検定準1級】加重平均・幾何平均・調和平均

はじめに

この記事では、統計検定準1級取得に向けて学習したことをまとめていきます。
工学系の数学ではなく数理あるあるの、論述ゴリゴリな解答になっていると思いますのであらかじめご了承ください。
注意：さらに計算過程は数学文化の『省略の美』を無視してエレファントに書いています。

【リンク紹介】
・統計検定準1級のまとめ記事一覧
・これまで書いたシリーズ記事一覧

学習書籍について

この記事では「統計学実践ワークブック」を中心に、学んだことをまとめていきます。記事を読んで本格的に勉強してみたいなと思った方は、是非ご購入を検討なさってください。

参考書籍について

統計実践ワークブックは、大量の知識項目と問題が収められている反面、計算過程や知識背景が大きく省略されているため、知識体系をきちんと学ぶ参考書として東京大学から出版されている名著「統計学入門」を使っています。
※ワークブックとしては素晴らしい質だと思いますが、どうしてもその内容量とページ数の都合上、問題のない範囲で削除されているということです。人によっては1冊で問題ない方もおられると思いますが、私には無理でした。

前提知識

データ

$x_1, \cdots, x_n$：データ

算術平均

データ$x_i (i = 1, 2, \cdots, n)$に対し、算術平均（単に平均とも） $\overline{x}$を以下のように定義する。

$$\begin{alignat*}{2} \overline{x} &= \cfrac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} \\ &= \cfrac{1}{ \ n \ } \sum_{i = 1}^{n} x_i \end{alignat*}$$

加重平均

データ$x_i (i = 1, 2, \cdots, n)$の加重平均(weighted average)を以下のように定義する。

$$\begin{alignat*}{2} & w_1 x_1 + w_2 x_2 + \cdots + w_n x_n \\ =& \sum_{i = 1}^{n} w_i x_i \end{alignat*}$$

ただし、$w_i$は変数であり、

$$w_i > 0 \hspace{5mm} かつ \hspace{5mm} w_1 + w_2 + \cdots + w_n = 1$$

を満たす。この$w_i$を重みともいう。

幾何平均

データ$x_i (i = 1, 2, \cdots, n)$（ただし、$x_i > 0$）の幾何平均(geometric average)を以下のように定義する。

$$\begin{alignat*}{2} & (x_1 \times x_2 \times \cdots \times x_n)^{\frac{1}{n}} \\ =& \sqrt[n]{x_1 \times x_2 \times \cdots \times x_n} \\ \end{alignat*}$$

調和平均

データ$x_i (i = 1, 2, \cdots, n)$（ただし、$x_i > 0$）の調和平均(harmonic average)を以下のように定義する。

$$\begin{alignat*}{2} & \cfrac{n}{\cfrac{1}{x_1} + \cfrac{1}{x_2} + \cdots + \cfrac{1}{x_n}} \\ =& \cfrac{n}{\cfrac{1}{ \ n \ } \displaystyle\sum_{i = 1}^{n} \cfrac{1}{ \ x_i \ }} \end{alignat*}$$

参考資料

• 日本統計学会(編集).日本統計学会認定 統計検定準１級対応 統計学実践ワークブック.学術図書出版社.2020
• 東京大学教養学部統計学教室.統計学入門(基礎統計学Ⅰ).東京大学出版会.1991
• 小寺 平治.新統計入門.裳華房.1996
• 稲垣 宣生, 山根 芳知, 吉田 光雄.統計学入門.裳華房.1992
• 長瀬道弘・芦野隆一.微分積分概説.サイエンス社.2007
• 加藤文元.チャート式シリーズ 大学教養 微分積分.数研出版.2024
• 谷合廣紀.Pythonで理解する東海解析の基礎.技術評論社.2018

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