はじめに
この記事では、統計検定準1級取得に向けて学習したことをまとめていきます。
工学系の数学ではなく数理あるあるの、論述ゴリゴリな解答になっていると思いますのであらかじめご了承ください。
注意：さらに計算過程は数学文化の『省略の美』を無視してエレファントに書いています。
【リンク紹介】
・統計検定準1級のまとめ記事一覧
・これまで書いたシリーズ記事一覧
学習書籍について
この記事では「統計学実践ワークブック」を中心に、学んだことをまとめていきます。記事を読んで本格的に勉強してみたいなと思った方は、是非ご購入を検討なさってください。
参考書籍について
この記事では他の記事と異なり、「数理統計学：統計的推論の基礎」を参考にしています。普段は主に「統計学入門」で学んでいるのですが、今回は定理の証明が関わっているため、こちらの本を中心に学習しました。
※この本はゴリゴリの専門書です。大学数学の基礎が身についていないと読めない書籍なので、買う場合はご注意ください。文系さんは多分卒倒します…。
前提知識の定義
x, y \hspace{5mm} ：変数
X, Y \hspace{2.9mm} ：確率変数 ※ただし、連続型であるとする
f(x) \hspace{3.6mm} ：Xの確率密度関数
E[X] \hspace{2.1mm} ：Xの期待値
確率収束
\{ X_n : n = 1, 2, \cdots \} (= \{ X_1, X_2, \cdots \})を確率変数列とする。このとき、確率変数列\{ X_n : n = 1, 2, \cdots \}がある確率変数Yに確率収束する(convergence in probability)とは、
すべての\varepsilon > 0に対して、
\lim_{n \to \infty} P(|X_n - Y| \geqq \varepsilon) = 0
が、成り立つことである。
平均p乗収束
確率変数列\{ X_n : n = 1, 2, \cdots \}が確率変数Yへ平均p乗収束する(convergence in the p-th mean)とは、以下の式が成り立つことである。
\lim_{n \to \infty} E[|X_n - Y|^p] = 0
平均p乗誤差
また、上式の
を、平均p乗誤差(the p-th mean error)という。
定理：平均p乗収束⇒確率収束
定理
確率変数列\{ X_n : n = 1, 2, \cdots \}が確率変数Yへ平均p乗収束するならば、
確率変数列\{ X_n : n = 1, 2, \cdots \}は確率変数Yへ確率収束する
証明
（証明）
※定理の一番外側の論理が「ならば」である。つまり「命題Aならば命題B」の形をしているため、命題Aを仮定し、命題Bを証明していく。
確率変数列\{ X_n : n = 1, 2, \cdots \}が確率変数Yへ平均p乗収束すると仮定し、
確率変数列\{ X_n : n = 1, 2, \cdots \}は確率変数Yへ確率収束することを示せばよい。
つまり、すべての\varepsilon > 0に対して、
\lim_{n \to \infty} P(|X_n - Y| \geqq \varepsilon) = 0
が、成り立つことを示す。そのために、
任意に\varepsilon > 0を固定し、
\lim_{n \to \infty} P(|X_n - Y| \geqq \varepsilon) = 0
が成り立つことを示す。ここで、
\begin{alignat*}{2}
& E[|X_n - Y|^p] \\
=&
\int_{- \infty}^{\infty} |x_n - Y|^p f(x_n) dx_n \\
=&
\int_{|x_n - Y| < \varepsilon} |x_n - Y|^p f(x_n) dx_n +
\int_{|x_n - Y| \geqq \varepsilon} |x_n - Y|^p f(x_n) dx_n \\
\geqq&
\int_{|x_n - Y| \geqq \varepsilon} |x_n - Y|^p f(x_n) dx_n \\
\geqq&
\int_{|x_n - Y| \geqq \varepsilon} {\varepsilon}^p f(x_n) dx_n \\
=&
{\varepsilon}^p \int_{|x_n - Y| \geqq \varepsilon} f(x_n) dx_n \\
=&
{\varepsilon}^p P(|X_n - Y| \geqq \varepsilon)
\end{alignat*}
である。つまり
\begin{alignat*}{2}
E[|X_n - Y|^p] &\geqq {\varepsilon}^p P(|X_n - Y| \geqq \varepsilon) \\
P(|X_n - Y| \geqq \varepsilon)
&\leqq \cfrac{E[|X_n - Y|^p]}{{\varepsilon}^p}
\hspace{5mm}(\because \varepsilon > 0)
\end{alignat*}
であるから、
\lim_{n \to \infty} P(|X_n - Y| \geqq \varepsilon) \leqq
\lim_{n \to \infty} \cfrac{E[|X_n - Y|^p]}{{\varepsilon}^p}
について、仮定（「確率変数列\{ X_n : n = 1, 2, \cdots \}が確率変数Yへ平均p乗収束する」こと！）より
\lim_{n \to \infty} E[|X_n - Y|^p] = 0
であり、かつ
\lim_{n \to \infty} {\varepsilon}^p = {\varepsilon}^p
であるため、
\begin{alignat*}{2}
\lim_{n \to \infty} P(|X_n - Y| \geqq \varepsilon)
\leqq & \cfrac{0}{{\varepsilon}^p} \\
= & 0
\end{alignat*}
つまり、
\lim_{n \to \infty} P(|X_n - Y| \geqq \varepsilon) \geqq 0
である。
(証明終?)
参考資料
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