CAC Payback Periodの数式変形

「経営学部のためのSaaSとサブスクリプションのデータ分析入門」の「SaaSの管理会計と経営データ分析」の章でCAC Payback Periodについて紹介しました。

$$PP=CACARPA PP=\frac{CAC}{ARPA}$$

このCAC Payback Periodの式を導出します(導出という程でもないですが他の記事に合わせてそういいます)。

期間$TT$までの収益(価値)の総和は割引率を0とすると、

$$LTV(T)=∑t=0TARPA(1−CCR)t LTV_{(T)}=\sum_{t=0}^{T}ARPA(1-CCR)^t$$

でした。

顧客生涯価値(LTV,CLV)の数式変形では、解約率が$CCR>0CCR>0$のケースの式変形を行いました。

$CCR=0CCR=0$のとき、

$$LTV(T)=∑t=0TARPA(1−CCR)t=∑t=0TARPA(1−0)t=∑t=0TARPA=T⋅ARPA \begin{aligned} LTV_{(T)}&=\sum_{t=0}^{T}ARPA(1-CCR)^t\\ &=\sum_{t=0}^{T}ARPA(1-0)^t\\ &=\sum_{t=0}^{T}ARPA\\ &=T \cdot ARPA\\ \end{aligned}$$

CAC Payback Period $PPPP$は$LTV(T)=CACLTV_{(T)}=CAC$となるときの$TT$です。

$$CAC=PP⋅ARPAPP=CACARPA \begin{aligned} CAC&=PP \cdot ARPA\\ PP&=\frac{CAC}{ARPA} \end{aligned}$$

となります。