【OR】【待ち行列】5分で分かるM/M/1(1)モデルの基本

対象読者

• 理論とかはいいから内容をサクッと理解したい人向け

MM1(1)モデルとは？

到着プロセス

客の到着が一定の時間内に到着するする確率が一定である
（ポアソン分布に従う）

サービスプロセス

客へのサービス時間はランダムである
（指数分布に従う）

制限

窓口（処理できる数）が1つ

→ サービス中である人は１人のみ

求める事象

• 待ち行列に誰もいない確率
• 窓口でサービスを受けている確率

MM1(1)モデルの求め方

到着率 λ

客が到着する速さ

$$到着率 = λ = \frac{到着する客の数}{平均到着時間間隔}$$

サービス率 μ

1人の客をサービスする速さ

$$サービス率 = μ = \frac{サービスを受ける数}{サービスにかかる平均時間}$$

平均サービス時間

1人の客をサービスするのにかかる平均時間

$$平均サービス時間 = \frac{1}{μ}$$

待ち行列に誰もいない確率　$Q_0(t)$

$$Q_0(t) = \frac{\mu}{\lambda + \mu}$$

窓口でサービスを受けている確率　$Q_1(t)$

$$Q_1(t) = \frac{\lambda}{\lambda + \mu}$$

利用率 p

サービスの稼働率（忙しさ）

$$p = \frac{\lambda}{\mu}$$

具体例

テーブル席が１席しかないレストラン。
ランチタイムに客が平均して10分間隔で到着し、8分で1人の客にサービスを提供し、帰っていく。
そのレストランは1人までしかサービスができない。

ランチタイムに、客が０である確率と1人いる確率を求める。

到着率は
$到着率 = λ = \frac{到着する客の数}{平均到着時間間隔}$
$到着率 = λ = \frac{1}{10}$

サービス率は
$サービス率 = μ = \frac{サービスを受ける数}{サービスにかかる平均時間}$
$サービス率 = μ = \frac{1}{8}$

客が０である確率
$Q_0(t) = \frac{\mu}{\lambda + \mu}$
$Q_0(t) = \frac{5}{9}$

客が1人いる確率
$Q_1(t) = \frac{\lambda}{\lambda + \mu}$
$Q_1(t) = \frac{4}{9}$

最後に

最後までお疲れさまでした！少しでも理解が深まったら幸いです。
誤り等あればコメントください。