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母分散の仮説検定

2024/02/01に公開

はじめに

母平均の検定に続き、母分散の検定を解説します。

ちなみに仮説検定は, 帰無仮説 $H$ と対立仮説 $K$ として

片側検定

\begin{align*} (1) & \ H: \theta = \theta_0, \ K: \theta > \theta_0; & (1') & \ H: \theta = \theta_0, \ K: \theta < \theta_0; \\ (2) & \ H: \theta \leq \theta_0, \ K: \theta > \theta_0; & (2') & \ H: \theta \geq \theta_0, \ K: \theta < \theta_0; \\ \end{align*}

と両側検定

(3) \ H: \theta = \theta_0, \ K: \theta \neq \theta_0

があります。
(2),(2’)は(1),(1’)と同様の棄却域を考えれば良いです。(3)は(1)と(1’)を合わせた棄却域を考えれば良いです。

平均 $\mu$ ,分散 $\sigma^2$ をもつ正規分布からデータが得られるとする。正規分布であることに注意！

母分散の検定は平均 $\mu$ が既知かどうかの場合分けがありますが、どちらもカイ二乗分布に帰着させればよいので簡単です。

これらの場合について詳しく見ていきます。

(1)のパターンを見ていく。

H:\sigma^2=\sigma_0^2 , \ K:\sigma^2 > \sigma_0^2

の水準 $\alpha$ の問題を考える。平均 $\mu$ ,分散 $\sigma^2$ の分布からの $n$ 個のデータを $X_1,\dots ,X_n$ とする。

まず、 $H$ のもとで考える。つまり母分散 $\sigma^2$ が $\sigma_0^2$ であると仮定する。

統計量 $V$ を次のように定義する。

\begin{equation} V = \sum_{i=1}^n\left(\frac{X_i - E(X)}{\sqrt{Var(X)}}\right)^2 \end{equation}

V = \sum_{i=1}^n\left(\frac{X_i - \mu}{\sigma_0} \right)^2

となる。したがって $V$ は自由度 $n$ のカイ二乗分布に従う。

$\chi_n^2$ 分布の上側 $100\alpha$ %点 : $\chi_\alpha^2(n)$

棄却域

C = (\chi_\alpha^2(n), \infty)

とすれば、

\begin{align*} v_0 > \chi_\alpha^2(n) \Rightarrow H\text{を棄却}\\ v_0 \leq \chi_\alpha^2(n) \Rightarrow H\text{を受容} \end{align*}

平均 $\mu$ が未知なので、代わりに標本平均 $\bar X = n^{-1}\sum_{i=1}^nX_i$ を用いる。

V = \sum_{i=1}^n\left(\frac{X_i - \bar X}{\sigma_0} \right)^2

標本平均を用いているので $V$ は自由度 $n-1$ のカイ二乗分布に従う。

$\chi_{n-1}^2$ 分布の上側 $100\alpha$ %点 : $\chi_\alpha^2(n-1)$

棄却域

C = (\chi_\alpha^2(n-1), \infty)

とすれば、

\begin{align*} v > \chi_\alpha^2(n-1) \Rightarrow H\text{を棄却}\\ v \leq \chi_\alpha^2(n-1) \Rightarrow H\text{を受容} \end{align*}

「母分散の検定はカイ二乗分布に帰着させる」とだけ覚えておきましょう。