未測定交絡の感度解析のためのE-valueとbounding factor (導出編)

E-valueがどうしてあの形になったのか知らずに使うことに抵抗があったのと、導出の考え方が他にも応用できるかもしれないと思い、論文とAppendixの導出部分を読みました。論文たちは以下です。

1. Ding, P., & VanderWeele, T. J. (2016). Sensitivity analysis without assumptions. Epidemiology, 27(3), 368-377. (URL)
2. [1]の論文のeAppendix (URL)
3. VanderWeele, T. J., & Ding, P. (2017). Sensitivity analysis in observational research: introducing the E-value. Annals of internal medicine, 167(4), 268-274. (URL)

この記事では自分用のメモとして、[1]の式変形と[2]のeAppendix 2の式変形の興味あるところを写経し、ところどころ補足します。

E-valueとbounding factorの使い方に興味がある人は使用例編を参照してください。

記法

論文では、$EE$が処置、$DD$がアウトカムなのですが、これがHernán MA, Robins JM (2020). Causal Inference: What Ifの記法で学んだ自分には驚くほど頭に入ってこないので変えます。すみません！

表記	意味	備考
$AA$	処置	とりあえず二値
$YY$	アウトカム	とりあえず二値
$Y(0)Y(0)$	$A=0A=0$ときに観測される潜在アウトカム
$Y(1)Y(1)$	$A=1A=1$ときに観測される潜在アウトカム
$LL$	測定済み交絡因子	なんでもOK
$UU$	未測定交絡因子	とりあえずカテゴリカルな多値としておく

DAGとしては次の図を想定しています（破線は、$LL$から$UU$に矢線があってもよいし$UU$から$LL$に矢線があってもよいの意味）。

つまり、次の条件付き交換可能性が成り立ちます。

$${Y(0),Y(1)}⊥ ⁣ ⁣ ⁣⊥A∣U,L \{Y(0), Y(1)\}\mathop{\perp\!\!\!\perp}A\mid U,L$$

以降では$L=ℓL=\ell$の層における相対リスク（relative risk, RR）を考えます。そのため各確率に$L=ℓL=\ell$の条件付けが入るのですが、簡潔にするために$L=ℓL=\ell$の条件付けを省略します。

表記	定義	日本語
$RRAU(u)\text{RR}_{AU}(u)$	$P(U=u|A=1)P(U=u|A=0)\frac{P\left(U=u\middle\vert A=1\right)}{P\left(U=u\middle\vert A=0\right)}$	$AA$のカテゴリ$U=uU=u$に対する相対リスク ＝「$A=1A=1$群では$A=0A=0$群と比べて、どれぐらい偏って$U=uU=u$が存在しているか」
$RRAU\text{RR}_{AU}$	$maxuRRAU(u)\text{max}_{u}\text{RR}_{AU}(u)$	$RRAU(u)\text{RR}_{AU}(u)$の中で一番大きく変わるやつ
$r(u)r(u)$	$P(Y(0)=1∣U=u)=P(Y=1∣A=0,U=u)P\left(Y(0)=1\mid U=u\right) \\= P\left(Y=1\mid A=0,U=u\right)$	$U=uU=u$の層における$A=0A=0$のときのリスク
$r∗(u)r^*(u)$	$P(Y(1)=1∣U=u)=P(Y=1∣A=1,U=u)P\left(Y(1)=1\mid U=u\right) \\= P\left(Y=1\mid A=1,U=u\right)$	$U=uU=u$の層における$A=1A=1$のときのリスク
$RRUY∣A=0\text{RR}_{UY\vert A=0}$	$maxur(u)minur(u)\frac{\text{max}_{u}{r(u)}}{\text{min}_{u}{r(u)}}$	$A=0A=0$群における$UU$の$YY$に対する相対リスクの最大値 ＝「$A=0A=0$群において、$U=1U=1$群では$U=0U=0$群と比べて$Y=1Y=1$の確率がどれぐらい高くなるか」の最大値
$RRUY∣A=1\text{RR}_{UY\vert A=1}$	$maxur∗(u)minur∗(u)\frac{\text{max}_{u}{r^*(u)}}{\text{min}_{u}{r^*(u)}}$	$A=1A=1$群における$UU$の$YY$に対する相対リスクの最大値
$RRUY\text{RR}_{UY}$	$max(RRUY∣A=0,RRUY∣A=1)\text{max}\left(\text{RR}_{UY\vert A=0},\text{RR}_{UY\vert A=1}\right)$	上二つのほうの大きいほう
$RRAYobs\text{RR}_{AY}^{\text{obs}}$	$P(Y=1|A=1)P(Y=1|A=0)=∑uP(Y=1|A=1,U=u)P(U=u∣A=1)∑uP(Y=1|A=0,U=u)P(U=u∣A=0)=∑ur∗(u)P(U=u∣A=1)∑ur(u)P(U=u∣A=0)\frac{P\left(Y=1\middle\vert A=1\right)}{P\left(Y=1\middle\vert A=0\right)}\\=\frac{\sum_{u} P\left(Y=1\middle\vert A=1,U=u\right)P(U=u\mid A=1)}{\sum_{u} P\left(Y=1\middle\vert A=0,U=u\right)P(U=u \mid A=0)}\\=\frac{\sum_{u} r^*(u)P(U=u\mid A=1)}{\sum_{u} r(u)P(U=u\mid A=0)}$	観測された、$AA$の$YY$に対する相対リスク
$RRAY+true\text{RR}_{AY+}^{\text{true}}$	$P(Y(1)=1∣A=1)P(Y(0)=1∣A=1)=∑ur∗(u)P(U=u∣A=1)∑ur(u)P(U=u∣A=1)\frac{P(Y(1)=1\mid A=1)}{P(Y(0)=1\mid A=1)} \\=\frac{\sum_{u} r^*(u)P(U=u\mid A=1)}{\sum_{u} r(u)P(U=u\mid A=1)}$	$A=1A=1$群における、$AA$の$YY$に対する真の相対リスク =$A=1A=1$群の$UU$の経験分布を使った標準化
$RRAY−true\text{RR}_{AY-}^{\text{true}}$	$P(Y(1)=1∣A=0)P(Y(0)=1∣A=0)=∑ur∗(u)P(U=u∣A=0)∑ur(u)P(U=u∣A=0)\frac{P(Y(1)=1\mid A=0)}{P(Y(0)=1\mid A=0)}\\=\frac{\sum_{u} r^*(u)P(U=u\mid A=0)}{\sum_{u} r(u)P(U=u\mid A=0)}$	$A=0A=0$群における、$AA$の$YY$に対する真の相対リスク =$A=0A=0$群の$UU$の経験分布を使った標準化
$RRAYtrue\text{RR}_{AY}^{\text{true}}$	$P(Y(1)=1)P(Y(0)=1)=∑ur∗(u)P(U=u)∑ur(u)P(U=u)\frac{P(Y(1)=1)}{P(Y(0)=1)} = \frac{\sum_{u} r^*(u)P(U=u)}{\sum_{u} r(u)P(U=u)}$	whole populationにおける、$AA$の$YY$に対する真の相対リスク =$UU$の経験分布を使った標準化
$CRRAY+\text{CRR}_{AY+}$	$RRAYobsRRAY+true=∑ur(u)P(U=u∣A=1)∑ur(u)P(U=u∣A=0)\frac{\text{RR}_{AY}^{\text{obs}}}{\text{RR}_{AY+}^{\text{true}}}=\frac{\sum_{u} r(u)P(U=u\mid A=1)}{\sum_{u} r(u)P(U=u\mid A=0)}$	$A=1A=1$群における、$AA$の$YY$に対する交絡相対リスク（と呼ぶらしい）
$CRRAY−\text{CRR}_{AY-}$	$RRAYobsRRAY−true=∑ur∗(u)P(U=u∣A=1)∑ur∗(u)P(U=u∣A=0)\frac{\text{RR}_{AY}^{\text{obs}}}{\text{RR}_{AY-}^{\text{true}}}=\frac{\sum_{u} r^*(u)P(U=u\mid A=1)}{\sum_{u} r^*(u)P(U=u\mid A=0)}$	$A=0A=0$群における、$AA$の$YY$に対する交絡相対リスク
$CRRAY\text{CRR}_{AY}$	$RRAYobsRRAYtrue\frac{\text{RR}_{AY}^{\text{obs}}}{\text{RR}_{AY}^{\text{true}}}$	whole populationにおける、$AA$の$YY$に対する交絡相対リスク

目的

真の相対リスク$RRAYtrue\text{RR}_{AY}^{\text{true}}$、観測された相対リスク$RRAYobs\text{RR}_{AY}^{\text{obs}}$、未測定交絡の影響である$RRAU\text{RR}_{AU}$と$RRUY\text{RR}_{UY}$を結びつける式を導出します。

仮定として、処置$A=1A=1$によってリスクが大きくなる方向の因果効果を考えます。具体的には、観測された相対リスクが1よりかなり大きく、未測定交絡の影響である$RRAU\text{RR}_{AU}$と$RRUY\text{RR}_{UY}$も1より大きいときを考えます。そして「未測定交絡の影響をこれぐらい大きく見積もらないと真の相対リスクは1まで下がらないだろう」といった知見を得ることを考えます。

もし、処置$A=1A=1$によってリスクが小さくなる方向の因果効果を考えたい場合には、それぞれの相対リスクの逆数をとることで同様の議論が可能です。

命題 A.1.

$RRAYtrue\text{RR}_{AY}^{\text{true}}$は$RRAY+true\text{RR}_{AY+}^{\text{true}}$と$RRAY−true\text{RR}_{AY-}^{\text{true}}$の重み付き平均である。また、$CRRAY\text{CRR}_{AY}$は$CRRAY+\text{CRR}_{AY+}$と$CRRAY−\text{CRR}_{AY-}$の重み付き調和平均である。すなわち、

$$RRAYtrue=wRRAY+true+(1−w)RRAY−true, \text{RR}_{AY}^{\text{true}} = w\text{RR}_{AY+}^{\text{true}} + (1-w)\text{RR}_{AY-}^{\text{true}},$$

$$1CRRAY=wCRRAY++1−wCRRAY− \frac{1}{\text{CRR}_{AY}}=\frac{w}{\text{CRR}_{AY+}}+\frac{1-w}{\text{CRR}_{AY-}}$$

ここで、$f=P(A=1)f=P(A=1)$で$ww$は$[0,1][0,1]$の範囲の重みで

$$w=f∑ur(u)P(U∣A=1)f∑ur(u)P(U∣A=1)+(1−f)∑ur(u)P(U∣A=0) w = \frac{f\sum_{u} r(u)P(U\mid A=1)}{f\sum_{u} r(u)P(U\mid A=1) + (1-f)\sum_{u} r(u)P(U\mid A=0)}$$

証明

$$RRAYtrue=∑ur∗(u)P(U=u)∑ur(u)P(U=u)∵定義より=f∑ur∗(u)P(U=u∣A=1)+(1−f)∑ur∗(u)P(U=u∣A=0)f∑ur(u)P(U=u∣A=1)+(1−f)∑ur(u)P(U=u∣A=0)∵確率の積の公式=f∑ur∗(u)P(U=u∣A=1)f∑ur(u)P(U=u∣A=1)+(1−f)∑ur(u)P(U=u∣A=0)+(1−f)∑ur∗(u)P(U=u∣A=0)f∑ur(u)P(U=u∣A=1)+(1−f)∑ur(u)P(U=u∣A=0)∵分子を分けた=f∑ur(u)P(U=u∣A=1)f∑ur(u)P(U=u∣A=1)+(1−f)∑ur(u)P(U=u∣A=0)×∑ur∗(u)P(U=u∣A=1)∑ur(u)P(U=u∣A=1)+(1−f)∑ur(u)P(U=u∣A=0)f∑ur(u)P(U=u∣A=1)+(1−f)∑ur(u)P(U=u∣A=0)×∑ur∗(u)P(U=u∣A=0)∑ur(u)P(U=u∣A=0)∵各項においてキャンセルできるものを差し込んだ=wRRAY+true+(1−w)RRAY−true \begin{aligned} &\text{RR}_{AY}^{\text{true}} \\ &= \frac{\sum_{u} r^*(u)P(U=u)}{\sum_{u} r(u)P(U=u)} \quad\because 定義より \\ &=\frac{f\sum_{u} r^*(u)P(U=u\mid A=1) + (1-f)\sum_{u} r^*(u)P(U=u\mid A=0)}{f\sum_{u} r(u)P(U=u\mid A=1) + (1-f)\sum_{u} r(u)P(U=u\mid A=0)} \quad\because 確率の積の公式 \\ &=\frac{f\sum_{u} r^*(u)P(U=u\mid A=1)}{f\sum_{u} r(u)P(U=u\mid A=1) + (1-f)\sum_{u} r(u)P(U=u\mid A=0)} \\&\quad + \frac{(1-f)\sum_{u} r^*(u)P(U=u\mid A=0)}{f\sum_{u} r(u)P(U=u\mid A=1) + (1-f)\sum_{u} r(u)P(U=u\mid A=0)} \quad\because 分子を分けた \\ &=\frac{f\sum_{u} r(u)P(U=u\mid A=1)}{f\sum_{u} r(u)P(U=u\mid A=1) + (1-f)\sum_{u} r(u)P(U=u\mid A=0)}\times \frac{\sum_{u} r^*(u)P(U=u\mid A=1)}{\sum_{u} r(u)P(U=u\mid A=1)} \\&\quad + \frac{(1-f)\sum_{u} r(u)P(U=u\mid A=0)}{f\sum_{u} r(u)P(U=u\mid A=1) + (1-f)\sum_{u} r(u)P(U=u\mid A=0)}\times \frac{\sum_{u} r^*(u)P(U=u\mid A=0)}{\sum_{u} r(u)P(U=u\mid A=0)} \quad\because 各項においてキャンセルできるものを差し込んだ \\ &= w\text{RR}_{AY+}^{\text{true}} + (1-w)\text{RR}_{AY-}^{\text{true}} \end{aligned}$$

感想：「各群における真の相対リスクの何らかの重み付き平均」が全体の真の相対リスクになるのは、直感的にはそうだよなという感じ。重みまで含めてきちんと式で説明するとこうなるのかと勉強になりました。

命題 A.2.

次の$BFU\text{BF}_{U}$をbounding factorと呼ぶ。

$$BFU=RRAU×RRUYRRAU+RRUY−1 \text{BF}_{U} = \frac{\text{RR}_{AU}\times\text{RR}_{UY}}{\text{RR}_{AU} + \text{RR}_{UY} - 1}$$

交絡相対リスクはbounding factorで抑えられる。

$$CRRAY+=RRAYobsRRAY+true≤BFU \text{CRR}_{AY+}=\frac{\text{RR}_{AY}^{\text{obs}}}{\text{RR}_{AY+}^{\text{true}}}\leq\text{BF}_{U}$$

$$CRRAY−=RRAYobsRRAY−true≤BFU \text{CRR}_{AY-}=\frac{\text{RR}_{AY}^{\text{obs}}}{\text{RR}_{AY-}^{\text{true}}}\leq\text{BF}_{U}$$

$$CRRAY=RRAYobsRRAYtrue≤BFU \text{CRR}_{AY}=\frac{\text{RR}_{AY}^{\text{obs}}}{\text{RR}_{AY}^{\text{true}}}\leq\text{BF}_{U}$$

証明

はじめに$CRRAY+\text{CRR}_{AY+}$について証明する。ポイントは、$CRRAY+\text{CRR}_{AY+}$を$maxur(u)\text{max}_{u}r(u)$と$minur(u)\text{min}_{u}r(u)$という2つの($uu$によらない)変数で記述すること。具体的には次が成り立つ。

$$CRRAY+=w1maxur(u)+(1−w1)minur(u)w0maxur(u)+(1−w0)minur(u) \text{CRR}_{AY+}=\frac{w_1 \text{max}_{u}r(u) + (1 - w_1)\text{min}_{u}r(u)}{w_0 \text{max}_{u}r(u) + (1 - w_0)\text{min}_{u}r(u)}$$

ここで、

$$w1=∑u(r(u)−minur(u))P(U=u∣A=1)maxur(u)−minur(u) w_1 = \frac{\sum_u {(r(u) - \text{min}_{u}r(u))P(U=u\mid A=1)}}{\text{max}_{u}r(u) - \text{min}_{u}r(u)}$$

$$1−w1=∑u(maxur(u)−r(u))P(U=u∣A=1)maxur(u)−minur(u) 1 - w_1 = \frac{\sum_u {(\text{max}_{u}r(u) - r(u))P(U=u\mid A=1)}}{\text{max}_{u}r(u) - \text{min}_{u}r(u)}$$

$$w0=∑u(r(u)−minur(u))P(U=u∣A=0)maxur(u)−minur(u) w_0 = \frac{\sum_u {(r(u) - \text{min}_{u}r(u))P(U=u\mid A=0)}}{\text{max}_{u}r(u) - \text{min}_{u}r(u)}$$

$$1−w1=∑u(maxur(u)−r(u))P(U=u∣A=0)maxur(u)−minur(u) 1 - w_1 = \frac{\sum_u {(\text{max}_{u}r(u) - r(u))P(U=u\mid A=0)}}{\text{max}_{u}r(u) - \text{min}_{u}r(u)}$$

この部分の証明は論文にはないが備忘録として書いておく。$CRRAY+\text{CRR}_{AY+}$の新しい記述のうち、分子だけを変形すると、

$$w1maxur(u)+(1−w1)minur(u)=∑u(r(u)−minur(u))P(U=u∣A=1)maxur(u)−minur(u)×maxur(u)+∑u(maxur(u)−r(u))P(U=u∣A=1)maxur(u)−minur(u)×minur(u)∵w1と(1−w1)を代入=∑u(r(u)maxur(u)−minur(u)maxur(u)+maxur(u)minur(u)−r(u)minur(u))P(U=u∣A=1)maxur(u)−minur(u)∵∑の内側に入れた=(maxur(u)−minur(u))∑ur(u)P(U=u∣A=1)maxur(u)−minur(u)∵maxur(u)−minur(u)はuによらないので∑の外側に出した=∑ur(u)P(U=u∣A=1) \begin{aligned} &w_1 \text{max}_{u}r(u) + (1 - w_1)\text{min}_{u}r(u) \\ &= \frac{\sum_u {(r(u) - \text{min}_{u}r(u))P(U=u\mid A=1)}}{\text{max}_{u}r(u) - \text{min}_{u}r(u)}\times \text{max}_{u}r(u) + \frac{\sum_u {(\text{max}_{u}r(u) - r(u))P(U=u\mid A=1)}}{\text{max}_{u}r(u) - \text{min}_{u}r(u)}\times\text{min}_{u}r(u) \quad\because w_1と(1 - w_1)を代入 \\ &= \frac{\sum_u {(r(u)\text{max}_{u}r(u) \cancel{-\text{min}_{u}r(u)\text{max}_{u}r(u)}\cancel{+\text{max}_{u}r(u)\text{min}_{u}r(u)} - r(u)\text{min}_{u}r(u))P(U=u\mid A=1)}}{\text{max}_{u}r(u) - \text{min}_{u}r(u)} \quad\because \sumの内側に入れた \\ &= \frac{\cancel{(\text{max}_{u}r(u) - \text{min}_{u}r(u))}\sum_u {r(u)P(U=u\mid A=1)}}{\cancel{\text{max}_{u}r(u) - \text{min}_{u}r(u)}} \quad\because \text{max}_{u}r(u) - \text{min}_{u}r(u) はuによらないので\sumの外側に出した \\ &= \sum_u {r(u)P(U=u\mid A=1)} \end{aligned}$$

となって、$CRRAY+\text{CRR}_{AY+}$の定義の分子に一致する。分母も同様に式変形できる。

次に$Γ=w1/w0\Gamma=w_1/w_0$と定義すると、

$$Γ=w1w0=∑u{r(u)−min⁡ur(u)}P(U=u∣A=1)∑u{r(u)−min⁡ur(u)}P(U=u∣A=0)∵w1,w0の定義より=∑u{r(u)−min⁡ur(u)}RRAU(u)P(U=u∣A=0)∑u{r(u)−min⁡ur(u)}P(U=u∣A=0)∵RRAU(u)の定義より≤max⁡uRRAU(u)×∑u{r(u)−min⁡ur(u)}P(U=u∣A=0)∑u{r(u)−min⁡ur(u)}P(U=u∣A=0)∵RRAU(u)をその最大値に固定すれば∑の外に出せるので（上からおさえる）=RRAU∵RRAUの定義より \begin{aligned} \Gamma & =\frac{w_{1}}{w_{0}} \\ &=\frac{\sum_{u}\left\{r(u)-\min _{u} r(u)\right\} P\left(U=u\mid A=1\right)}{\sum_{u}\left\{r(u)-\min _{u} r(u)\right\} P\left(U=u \mid A=0\right)} \quad\because w_1, w_0の定義より\\ &=\frac{\sum_{u}\left\{r(u)-\min _{u} r(u)\right\} \text{RR}_{AU}(u) P\left(U=u \mid A=0\right)}{\sum_{u}\left\{r(u)-\min _{u} r(u)\right\} P\left(U=u\mid A=0\right)} \quad\because \text{RR}_{AU}(u)の定義より\\ & \leq \frac{\max _{u} \text{RR}_{A U}(u) \times \cancel{\sum_{u}\left\{r(u)-\min _{u} r(u)\right\} P\left(U=u\mid A=0\right)}}{\cancel{\sum_{u}\left\{r(u)-\min _{u} r(u)\right\} P\left(U=u\mid A=0\right)}} \quad\because \text{RR}_{AU}(u)をその最大値に固定すれば\sumの外に出せるので（上からおさえる） \\ &=\text{RR}_{A U} \quad\because \text{RR}_{A U}の定義より \end{aligned}$$

また$w0=w1/Γw_0 = w_1/\Gamma$と書けるので、これを$CRRAY+\text{CRR}_{AY+}$の式に代入して$Γ\Gamma$をまとめるように整理すると、

$$CRR⁡AY+={max⁡ur(u)−min⁡ur(u)}×w1+min⁡ur(u){max⁡ur(u)−min⁡ur(u)}/Γ×w1+min⁡ur(u) \operatorname{CRR}_{A Y+}=\frac{\left\{\max _{u} r(u)-\min _{u} r(u)\right\} \times w_{1}+\min _{u} r(u)}{\left\{\max _{u} r(u)-\min _{u} r(u)\right\} / \Gamma \times w_{1}+\min _{u} r(u)}$$

もし$Γ>1\Gamma > 1$ならば、記事の末尾の補題A.1.より$CRR⁡AY+\operatorname{CRR}_{A Y+}$は$w1w_1$について単調増加で、$w1=1w_1=1$のとき最大値をとる。

$$CRRAY+≤max⁡ur(u){max⁡ur(u)−min⁡ur(u)}/Γ+min⁡ur(u)∵w1=1を代入した=Γ×max⁡ur(u)Γmin⁡ur(u)+max⁡ur(u)−min⁡ur(u)∵分子と分母にΓを掛けた=Γ×RRUY∣A=0Γ+RRUY∣A=0−1∵分子と分母をmin⁡ur(u)で割って、RRUY∣A=0の定義より≤RRAU×RRUY∣A=0RRAU+RRUY∣A=0−1∵Γ≤RRAUと補題A.2.より \begin{aligned} &\text{CRR}_{A Y+} \\ &\leq \frac{\max _{u} r(u)}{\left\{\max _{u} r(u)-\min _{u} r(u)\right\} / \Gamma +\min _{u} r(u)} \quad\because w_1=1を代入した \\ &=\frac{\Gamma \times \max _{u} r(u)}{\Gamma \min _{u} r(u) + \max _{u} r(u) - \min _{u} r(u)} \quad\because 分子と分母に \Gammaを掛けた \\ &=\frac{\Gamma \times \text{RR}_{U Y \mid A=0}}{\Gamma + \text{RR}_{U Y \mid A=0} - 1} \quad\because 分子と分母を \min _{u} r(u)で割って、\text{RR}_{U Y \mid A=0}の定義より \\ &\leq \frac{\text{RR}_{AU} \times \text{RR}_{U Y \mid A=0}}{\text{RR}_{AU} + \text{RR}_{U Y \mid A=0} - 1} \quad\because \Gamma\leq\text{RR}_{AU}と補題A.2.より \end{aligned}$$

もし$Γ≤1\Gamma \leq 1$ならば、補題A.1.より$CRR⁡AY+\operatorname{CRR}_{A Y+}$は$w0w_0$について非増加で、$w1=0w_1=0$のとき最大値をとる。

$$CRRAY+≤1∵w1=0を代入した≤RRAU×RRUY∣A=0RRAU+RRUY∣A=0−1∵補題A.2.より \begin{aligned} &\text{CRR}_{A Y+} \\ &\leq 1 \quad\because w_1=0を代入した \\ &\leq \frac{\text{RR}_{AU} \times \text{RR}_{U Y \mid A=0}}{\text{RR}_{AU} + \text{RR}_{U Y \mid A=0} - 1} \quad\because 補題A.2.より \end{aligned}$$

同様に次も示せる。

$$CRRAY−≤RRAU×RRUY∣A=1RRAU+RRUY∣A=1−1 \text{CRR}_{A Y-} \leq \frac{\text{RR}_{AU} \times \text{RR}_{U Y \mid A=1}}{\text{RR}_{AU} + \text{RR}_{U Y \mid A=1} - 1}$$

最後に、

$$1CRRAY=wCRRAY++1−wCRRAY−≥w(RRAU×RRUY∣A=0RRAU+RRUY∣A=0−1)+1−w(RRAU×RRUY∣A=1RRAU+RRUY∣A=1−1)∵すぐ上で示したことより≥w(RRAU×RRUYRRAU+RRUY−1)+1−w(RRAU×RRUYRRAU+RRUY−1)∵RRUYの定義と補題A.2より=(RRAU×RRUYRRAU+RRUY−1)−1=1BFU \begin{aligned} &\frac{1}{\text{CRR}_{A Y}}\\ &= \frac{w}{\text{CRR}_{A Y+}} + \frac{1-w}{\text{CRR}_{A Y-}} \\ &\geq \frac{w}{\left(\frac{\text{RR}_{AU} \times \text{RR}_{U Y \mid A=0}}{\text{RR}_{AU} + \text{RR}_{U Y \mid A=0} - 1} \right)} + \frac{1-w}{\left(\frac{\text{RR}_{AU} \times \text{RR}_{U Y \mid A=1}}{\text{RR}_{AU} + \text{RR}_{U Y \mid A=1} - 1}\right)} \quad\because すぐ上で示したことより \\ &\geq \frac{w}{\left(\frac{\text{RR}_{AU} \times \text{RR}_{U Y}}{\text{RR}_{AU} + \text{RR}_{U Y} - 1} \right)} + \frac{1-w}{\left(\frac{\text{RR}_{AU} \times \text{RR}_{U Y}}{\text{RR}_{AU} + \text{RR}_{U Y} - 1}\right)} \quad\because \text{RR}_{U Y}の定義と補題A.2より \\ &= \left(\frac{\text{RR}_{AU} \times \text{RR}_{U Y}}{\text{RR}_{AU} + \text{RR}_{U Y} - 1}\right)^{-1} = \frac{1}{\text{BF}_U} \end{aligned}$$

感想：最後から2番目の不等号で補題A.2.を使うためには$RRAU>1\text{RR}_{AU} > 1$の条件が必要なのではと思ったのですが、相対リスクが1より大きい場面を想定している今の状況下ではそれを仮定していいのだと理解しました。

論文の主要な結果

以上より次の主要な結果が示せる。

$$RRAYtrue≥RRAYobsBFU=RRAYobs/RRAU×RRUYRRAU+RRUY−1 \begin{equation} \text{RR}_{AY}^{\text{true}} \geq \frac{\text{RR}_{AY}^{\text{obs}}}{\text{BF}_U} = \left.\text{RR}_{AY}^{\text{obs}} \right/ \frac{\text{RR}_{AU} \times \text{RR}_{U Y}}{\text{RR}_{AU} + \text{RR}_{U Y} - 1} \end{equation}$$

仮に$RRAU\text{RR}_{AU}$と$RRUY\text{RR}_{U Y}$が同じ大きさで$xx$とすると、(1)式から、

$$RRAYtruex2−2RRAYobsx+RRAYobs≥0 \text{RR}_{AY}^{\text{true}} x^2 - 2 \text{RR}_{AY}^{\text{obs}} x + \text{RR}_{AY}^{\text{obs}} \geq 0$$

となり、2次式の解の公式から、

$$x=RRAU=RRUY≥{RRAYobs+RRAYobs(RRAYobs−RRAYtrue)}/RRAYtrue x = \text{RR}_{AU} = \text{RR}_{U Y} \geq \left. \left\{ \text{RR}_{AY}^{\text{obs}} + \sqrt{ \text{RR}_{AY}^{\text{obs}} \left( \text{RR}_{AY}^{\text{obs}} - \text{RR}_{AY}^{\text{true}} \right) } \right\} \right/ \text{RR}_{AY}^{\text{true}}$$

もし、未測定交絡で観測された相対リスクの説明が完璧につくなら（すなわち$RRAYtrue=1\text{RR}_{AY}^{\text{true}}=1$まで下がるならば）、

$$RRAU=RRUY≥RRAYobs+RRAYobs(RRAYobs−1) \begin{equation} \text{RR}_{AU} = \text{RR}_{U Y} \geq \text{RR}_{AY}^{\text{obs}} + \sqrt{ \text{RR}_{AY}^{\text{obs}} \left( \text{RR}_{AY}^{\text{obs}} - 1 \right) } \end{equation}$$

となる。(2)式の右辺をE-valueと呼ぶ。

共変量$LL$を再考する

これまで暗黙に$L=ℓL=\ell$の条件付けと仮定してきたが、共変量$LL$を再考して結果を拡張する。$ℓ\ell$で条件づけたbounding factorを次のように書く。

$$\text{BF}_{U \mid \ell}=\frac{\text{RR}_{A U \mid \ell} \times \text{RR}_{U Y \mid \ell}} {\text{RR}_{A U \mid \ell}+\text{RR}_{U Y \mid \ell}-1}$$

すると、真の相対リスクは次のように変形できる。

$$\begin{aligned} \text{RR}_{A Y}^{\text {true}} & =\frac{\sum_{\ell,u} P(Y=1 \mid A=1, L=\ell, U=u) P(L=\ell, U=u)}{\sum_{\ell,u} P(Y=1 \mid A=0, L=\ell, U=u) P(L=\ell, U=u)} \quad\because \text{RR}_{A Y}^{\text {true}}の定義より \\ &=\frac{\sum_{\ell,u} P(Y=1 \mid A=1, L=\ell, U=u) P(U = u \mid L=\ell) P(L=\ell)}{\sum_{\ell,u} P(Y=1 \mid A=0, L=\ell, U=u) P(U = u \mid L=\ell) P(L=\ell)} \quad\because 積の公式より\\ &=\frac{\sum_{\ell,u} P(Y(1)=1 \mid L=\ell, U=u) P(U = u \mid L=\ell) P(L=\ell)}{\sum_{\ell,u} P(Y(0)=1 \mid L=\ell, U=u) P(U = u \mid L=\ell) P(L=\ell)} \quad\because \text{consistency}より\\ &=\frac{\sum_{\ell} P(Y(1)=1 \mid L=\ell) P(L=\ell)}{\sum_{\ell} P(Y(0)=1 \mid L=\ell) P(L=\ell)} \quad\because Uの和をとった\\ &=\frac{\sum_{\ell} \text{RR}_{A Y \mid \ell}^{\text {true}} P(Y(0)=1 \mid L=\ell) P(L=\ell)}{\sum_{\ell} P(Y(0)=1 \mid L=\ell) P(L=\ell)} \quad\because \text{RR}_{A Y \mid \ell}^{\text {true}}の定義より \\ &\geq \frac{\sum_{\ell} \frac{\text{RR}_{A Y \mid \ell}^{\text{obs}}}{\text{BF}_{U \mid \ell}} P(Y(0)=1 \mid L=\ell) P(L=\ell)}{\sum_{\ell} P(Y(0)=1 \mid L=\ell) P(L=\ell)} \quad\because 主要な結果の(1)式より\\ &\geq \min_{\ell} \frac{\text{RR}_{A Y \mid \ell}^{\text{obs}}}{\text{BF}_{U \mid \ell}} \quad\because \frac{\text{RR}_{A Y \mid \ell}^{\text{obs}}}{\text{BF}_{U \mid \ell}}をその最小値に固定すれば\sumの外に出せるので（下からおさえる） \end{aligned}$$

よって、$L=\ell$について最小のbounding factorとE-valueを使えば、これまでと同様の議論が可能です。

補題

補題A.1.

$$h(x) = \frac{c_1 x + 1}{c_2 x + 1}$$

とする。$c_1 > c_2$のとき、$h'(x) >0$で$h(x)$は単調増加である。$c_1 \leq c_2$のとき、$h'(x) \leq 0$で$h(x)$は非増加である。

証明は$x$で微分するだけ。

補題A.2.

$x, y > 1$のとき、次の関数$h(x)$は$x,y$の両方について単調増加である。

$$h(x,y) = \frac{x y}{(x + y - 1)}$$

証明は$x$について偏微分するだけ。$x$と$y$は対称なので成立する。ちなみに$1 \leq x,y \leq 5$の範囲でグラフにすると以下のような形をしていて、$x = 1$または$y = 1$で最小値$1$をとります。