群の定義と変換

こんにちは、沙代です。
群って魅力的ですよね。落ち着いて眺めてみたいと思います。
(前回のリンク)

群の定義

ものの集まり$GG$が次の条件を満たす時、群という。
(i) $GG$の任意の２つの元$a,ba, b$に対して、乗法または積とよばれる演算$abab$が定義されている。$abab$はまた$GG$の元となる。
(ii) 3つの元$a,b,ca, b, c$に対して、

$$a(bc)=(ab)c(結合則) a(bc)=(ab)c\quad (結合則)$$

(iii) 単位元と呼ばれる元$ee$があって、すべての元に対して、

$$ae=ea=a ae=ea=a$$

が成り立つ。
(iv) すべての元aに対して、aの逆元と呼ばれる元$a−1a^{-1}$が存在して、

$$aa−1=a−1a=e aa^{-1}=a^{-1}a=e$$

が成り立つ。

(出典：『新装改版 群論への30講 (数学30講シリーズ)』)

定義補足

実は、$ae=ea=aae=ea=a$, $aa−1=a−1a=eaa^{-1}=a^{-1}a=e$はそれぞれ、$ae=aae=a$, $aa−1=eaa{-1}=e$でよい。(同上)

確認してみます。

$ae=a,aa−1=e ⟹ ea=aae=a, aa^{-1}=e \implies ea=a$

$$ea=(aa−1)a=a(a−1a)=ae=a ea=(aa^{-1})a=a(a^{-1}a)=ae=a$$

$ae=a,aa−1=e ⟹ a−1a=eae=a, aa^{-1}=e \implies a^{-1}a=e$

$$a−1a=a−1(ae)=(a−1a)e=ee=e a^{-1}a=a^{-1}(ae)=(a^{-1}a)e=ee=e$$

確認できました！

変換は群

例として、左右対称変換$TT$による集合$G=I,TG={I, T}$が群になることを確認してみます。

(i) $IT=TI=T∈G,TT=II=I∈GIT=TI=T\in G, TT=II=I \in G$
(ii) $I(II)=(II)I=I,I(IT)=(II)T=T,I(TI)=(IT)I=T,T(II)=(TI)I=T,T(IT)=(TI)T=I,T(TI)=(TT)I=I,T(TT)=(TT)T=TI(II)=(II)I=I, I(IT)=(II)T=T, I(TI)=(IT)I=T, \newline T(II)=(TI)I=T, T(IT)=(TI)T=I, T(TI)=(TT)I=I, T(TT)=(TT)T=T$
(iii) $II=I,TI=T(I∈G)II=I, TI=T (I\in G)$
(iv) $TT=I,II=I(T−1=T,I−1I)TT=I, II=I (T^{-1}=T, I^{-1}I)$

確認できました！

感想

演算について閉じていていることが実は重要ですね。

群の結合則が成り立たないと、マグマと呼ばれるものに近いものになりそうです。
群の単位元が存在しないものは、半群と呼ばれるものに近いものになりそうです。(マグマ＋結合則）
群の逆元が存在しないものは、モノイドと呼ばれるものに近いものになりそうです。（半群＋逆元）

逆元が存在するけれど単位元が存在しないようなものは、準群と呼ばれるものに近いものになりそうです。
こういった構造の詳細は、準群等のWikipediaからも確認することができます。
（読んでみても分かりきりません！）
準群の例として、整数の集合と引き算で例が示されていました。準群における逆元は、単一の単位元に対する逆元とは異なり、方程式を解くための操作（逆操作）の側面が強そうだなと思いました。

参考にさせていただいた本・ページ

『新装改版 群論への30講 (数学30講シリーズ)』

https://ja.wikipedia.org/wiki/準群