群の定義と変換
こんにちは、沙代です。
群って魅力的ですよね。落ち着いて眺めてみたいと思います。
(前回のリンク)
群の定義
ものの集まり
が次の条件を満たす時、群という。 G
(i)の任意の2つの元 G に対して、乗法または積とよばれる演算 a, b が定義されている。 ab はまた ab の元となる。 G
(ii) 3つの元に対して、 a, b, c a(bc)=(ab)c\quad (結合則) (iii) 単位元と呼ばれる元
があって、すべての元に対して、 e ae=ea=a が成り立つ。
(iv) すべての元aに対して、aの逆元と呼ばれる元が存在して、 a^{-1} aa^{-1}=a^{-1}a=e が成り立つ。
(出典:『新装改版 群論への30講 (数学30講シリーズ)』)
定義補足
実は、
確認してみます。
確認できました!
変換は群
例として、左右対称変換
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
確認できました!
感想
演算について閉じていていることが実は重要ですね。
群の結合則が成り立たないと、マグマと呼ばれるものに近いものになりそうです。
群の単位元が存在しないものは、半群と呼ばれるものに近いものになりそうです。(マグマ+結合則)
群の逆元が存在しないものは、モノイドと呼ばれるものに近いものになりそうです。(半群+逆元)
逆元が存在するけれど単位元が存在しないようなものは、準群と呼ばれるものに近いものになりそうです。
こういった構造の詳細は、準群等のWikipediaからも確認することができます。
(読んでみても分かりきりません!)
準群の例として、整数の集合と引き算で例が示されていました。準群における逆元は、単一の単位元に対する逆元とは異なり、方程式を解くための操作(逆操作)の側面が強そうだなと思いました。
参考にさせていただいた本・ページ
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