🥷
計量テンソルを用いた極座標ラプラシアンの導出

2024/12/28に公開
math
 はじめに3次元曲座標のラプラシアンの導出は物理学科が人生で一度は自分で導出するべきと言われるものの1つです。

ヨビノリさんが地道に計算する方法[1]をあげていたので、今回はその方法ではなく、計量テンソルを用いて導出する方法を紹介しようと思います。
相対論を勉強していない方、テンソルについて知らない方向けに丁寧に計算過程を書きましたので、読んで頂けると幸いです。

 計量テンソルを用いた極座標ラプラシアンの導出
 アインシュタインの縮約今回、相対論で用いられる計量テンソルを扱うので、アインシュタインの縮約が出てきます。

アインシュタインの縮約について、別に記事を書いたので読んで頂けると幸いです。
https://zenn.dev/ryanphys/articles/388e31d7e14560

 計量テンソルとは計量テンソルg_{ij}は、空間の距離を測るためのテンソルです。

教科書的な定義は以下になります。
リーマン幾何学において計量テンソルとは、空間の局所ごとの構造を表す階数2のテンソルである。距離と角度の定義を与える。

多様体が与えられたとき、多様体の接空間で、滑らかに変化する非負の計量テンソルが得られるときにその多様体をリーマン多様体と呼ぶ。

そのため、計量テンソルは、リーマン計量(Riemannian metric)とも呼ばれる。
Wikipedia[2]より引用(一部改変)
また、以下のようにも書かれます。
多様体M上定義された(0,2)型テンソルgであって、各点p\in Mでg_pがT_pM上での正定値対称双線形形式であるものをMのRiemann計量という。局所座標系(x^1,...,x^n)を用いて

g = g_{ij}dx^i\otimes dx^j
と表すと、その成分

g_{ij} \coloneqq g\left( \frac{\partial}{\partial x^i} , \frac{\partial}{\partial x^j} \right)
は正定値対称行列となる。Riemann計量gが与えられた多様体Mのことを、Riemann多様体という。
情報幾何学の基礎[3]より引用(一部改変)
わかりやすくいうと、計量テンソルは座標系における規定ベクトルe_iとe_jの内積で定義されるということです。

また、数式で書くとds^2を距離として、

ds^2 = g_{ij}dx^idx^j
と距離を計量テンソルを使って表現できます。

相対論や幾何学を勉強していないと表記方法に戸惑うかもしれませんが、たとえば3次元曲座標であれば、(x^1, x^2, x^3) = (r, \theta, \varphi)のように対応させているだけです。
具体例を見てみましょう。
3次元Euclid空間 (x, y, z)

ds^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2

\begin{align*}
     \therefore g_{ij} = 
    \begin{pmatrix}
        1 & 0 & 0\\
        0 & 1 & 0\\
        0 & 0 & 1
    \end{pmatrix}
\end{align*}
2次元極座標 (r,\theta)

ds^2 = dr^2 + r^2d\theta^2

\begin{align*}
     \therefore g_{ij} = 
    \begin{pmatrix}
        1 & 0 \\
        0 & r^2 
    \end{pmatrix}
\end{align*}
ミンコフスキー空間(natural unit) (x, y, z, t)

ds^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2 - dt^2

\begin{align*}
     \therefore g_{ij} = 
    \begin{pmatrix}
        1 & 0 & 0 & 0\\
        0 & 1 & 0 & 0\\
        0 & 0 & 1 & 0\\
        0 & 0 & 0 & -1\\
    \end{pmatrix}
\end{align*}
このような感じです。イメージを掴めたでしょうか？

 ヤコビアンと計量テンソルの関係計量テンソルをみた時、積分で同じようなことをしたことあるぞ思ったかもしれません。積分の時に使われたのはヤコビアンでした。

ここでは、ヤコビアンと計量テンソルの関係について紹介しようと思います。
座標系の変換(x^1, x^2, x^3) \mapsto (\xi^1, \xi^2, \xi^3)を考えることにします。ヤコビ行列Jは、以下のように書くことができました。

\begin{align*}
    J = 
    \begin{pmatrix}
        \dfrac{\partial \xi^1}{\partial x^1} & \dfrac{\partial \xi^1}{\partial x^2} & \dfrac{\partial \xi^1}{\partial x^3}\\
        \dfrac{\partial \xi^2}{\partial x^1} & \dfrac{\partial \xi^2}{\partial x^2} & \dfrac{\partial \xi^2}{\partial x^3}\\
        \dfrac{\partial \xi^3}{\partial x^1} & \dfrac{\partial \xi^3}{\partial x^2} & \dfrac{\partial \xi^3}{\partial x^3}
    \end{pmatrix}
\end{align*}
また、変換後の単位ベクトル\bm{e}_{\xi^a}は、以下のように書くことができます。

\bm{e}_{\xi^a} = \frac{\partial \xi^a}{\partial x^i}
つまり、変更後の基底ベクトルはヤコビ行列分変化するということです。

ここで、計量テンソルの定義より、

\begin{align*}
    g_{ij} &= \bm{e}_i \cdot \bm{e}_j\\
           &= \frac{\partial \xi^k}{\partial x^i} \frac{\partial \xi^k}{\partial x^j}\\ 
           &= (J^{\mathsf{T}}J)_{ij}
\end{align*}
となります。

次に、行列式について考えてみます。行列式の性質から、

|A| = |A^{\mathsf{T}}|
となるので、先ほどの式

g = J^\mathsf{T}J
から、以下の式が導かれます。

\sqrt{|g|} = |J|
これで、ヤコビアンと計量テンソルの関係性について把握することができました。

 曲がった座標系での発散と勾配、ラプラシアンここでは、曲がった座標系の発散とラプラシアンについて考えてみようと思います。

ここでは紹介するだけになってしまうので、詳しく気になる方は幾何学の本や相対論の本などを手に取ってみてください。

座標系自体が曲がっている場合、その座標系での発散は以下のように定義されます。

\nabla \cdot \bm{A} = \frac{1}{\sqrt{|g|}} \frac{\partial}{\partial x^i}\left( \sqrt{|g|} \, A^i \right)
この定義の意味について詳しくは書きませんが、\sqrt{\text{det}(g)}で体積のスケールを補正しているということです。先ほど計量テンソルの例で見たように3次元Euclid空間であれば|g|=1となるので、確かに慣れ親しんだ発散の式、

\nabla \cdot \bm{A} = \frac{\partial A^1}{\partial x^1} + \frac{\partial A^2}{\partial x^3} + \frac{\partial A^2}{\partial x^3}
となることがわかります。
勾配について考えると、

\nabla f = g_{ij} \frac{\partial f}{\partial x^j}
と書くことができるため、先程の式において\bm{A} = \nabla fとすることにより、

\nabla \cdot \nabla f = \frac{1}{\sqrt{|g|}} \frac{\partial}{\partial x^i}\left( \sqrt{|g|} \, g^{ij}\frac{\partial f}{\partial x^j} \right)
となるので、これより、

\Delta = \nabla^2 = \frac{1}{\sqrt{|g|}} \frac{\partial}{\partial x^i}\left( \sqrt{|g|} \, g^{ij}\frac{\partial}{\partial x^j} \right)
と求められます。

 3次元曲座標の単位ベクトルと計量テンソルここまで来ればもう後は計算するだけです。

計量テンソルを求めるために、以下のような形を目指します。

\begin{align*}
    d\bm{r} &= \frac{\partial \bm{r}}{\partial r}\bm{e}_rdr + \frac{\partial \bm{r}}{\partial \theta}\bm{e}_\theta d\theta + \frac{\partial \bm{r}}{\partial \varphi}\bm{e}_\varphi d\varphi
\end{align*}
(x, y, z) \mapsto (r, \theta, \varphi)の時、3次元曲座標は以下のように与えられました。

\begin{align*}
    \begin{cases}
        r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\\
        \theta = \cos^{-1}\left( \dfrac{z}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} \right)\\
        \varphi = \tan^{-1}\dfrac{y}{x}
    \end{cases}
\end{align*}
x, y, zについて書くと、

\begin{align*}
    \begin{cases}
        x = r\sin\theta\cos\varphi\\
        y = r\sin\theta\sin\varphi\\
        z = r\cos\theta
    \end{cases}
\end{align*}
でした。この式を使ってまず、曲座標系の単位ベクトルを求めていきます。

\begin{align*}
    \bm{r} = 
    \begin{pmatrix}
        x\\
        y\\
        z
    \end{pmatrix}
    =
    \begin{pmatrix}
        r\sin\theta\cos\varphi\\
        r\sin\theta\sin\varphi\\
        r\cos\theta
    \end{pmatrix}
\end{align*}
として、\bm{r}をr,\theta,\varphiで微分すると、

\frac{\partial \bm{r}}{\partial r} = 
\begin{pmatrix}
        \sin\theta\cos\varphi\\
        \sin\theta\sin\varphi\\
        \cos\theta
    \end{pmatrix}

\frac{\partial \bm{r}}{\partial \theta} =
\begin{pmatrix}
    r\cos\theta\cos\varphi\\
    r\cos\theta\sin\varphi\\
    -r\sin\theta
\end{pmatrix}

\frac{\partial\bm{r}}{\partial\varphi} = 
\begin{pmatrix}
    -r\sin\theta\sin\varphi\\
    r\sin\theta\cos\varphi\\
    0
\end{pmatrix}
となります。大きさもそれぞれ計算しておくと、

\begin{align*}
    \Bigm\lvert \frac{\partial \bm{r}}{\partial r} \Bigm\rvert^2 &= \sin^2\theta\cos^2\varphi + \sin^2\theta \sin^2\varphi + \cos^2 \theta\\
    &= 1
\\
\\
    \Bigm\lvert \frac{\partial \bm{r}}{\partial \theta} \Bigm\rvert^2 &= 
    r^2\cos^2\theta\cos^2\varphi + r^2\cos^2\theta\sin^2\varphi + r^2\sin^2\theta\\
    &= r^2
\\
\\
    \Bigm\lvert \frac{\partial \bm{r}}{\partial \varphi} \Bigm\rvert^2 &= 
    r^2\sin^2\theta\sin^2\varphi + r^2\sin^2\theta\cos^2\varphi\\
    &= r^2\sin^2\theta
\end{align*}
これより、極座標の単位ベクトル\bm{e}_r, \bm{e}_\theta, \bm{e}_\varphiは以下のようになります。

\begin{align*}
    \bm{e}_r &= \frac{\partial \bm{r}}{\partial r}/|\frac{\partial \bm{r}}{\partial r}|\\ 
    \\
             &= 
             \begin{pmatrix}
                \sin\theta\cos\varphi\\
                \sin\theta\sin\varphi\\
                \cos\theta
             \end{pmatrix}
\\
\\
    \bm{e}_\theta &= \frac{\partial \bm{r}}{\partial \theta}/|\frac{\partial \bm{r}}{\partial \theta}|\\ 
    \\
                  &= 
            \begin{pmatrix}
                \cos\theta\cos\varphi\\
                \cos\theta\sin\varphi\\
                -\sin\theta
            \end{pmatrix}
\\
\\
    \bm{e}_\varphi &= \frac{\partial \bm{r}}{\partial \varphi}/|\frac{\partial \bm{r}}{\partial \varphi}|\\ 
    \\
    &= 
    \begin{pmatrix}
        -\sin\varphi\\
        \cos\varphi\\
        0
    \end{pmatrix}
\end{align*}
よって、極座標の微小量は

\begin{align*}
    d\bm{r} &= \frac{\partial \bm{r}}{\partial r}\bm{e}_rdr + \frac{\partial \bm{r}}{\partial \theta}\bm{e}_\theta d\theta + \frac{\partial \bm{r}}{\partial \varphi}\bm{e}_\varphi d\varphi\\
            &= \bm{e}_r dr + r \bm{e}_\theta d\theta + r\sin\theta d\theta 
\end{align*}    
と求められるので、

\begin{align*}
    d\bm{r}^2 = dr^2 + r^2d\theta^2 + r^2\sin^2\theta d\varphi^2
\end{align*}
となります。これより、3次元曲座標の計量テンソルは以下のようになります。

\begin{align*}
    g_{ij} =
    \begin{pmatrix}
        1 & 0 & 0\\
        0 & r^2 & 0 \\
        0 & 0 & r^2\sin^2\theta
    \end{pmatrix}
\end{align*}

 ３次元曲座標ラプラシアンの計算いよいよ3次元曲座標のラプラシアンを導出します。

曲がった座標系でのラプラシアンは以下のように表すことができたことを思い出してください。

\Delta = \frac{1}{\sqrt{|g|}} \frac{\partial}{\partial x^i}\left( \sqrt{|g|} \, g^{ij}\frac{\partial}{\partial x^j} \right) \tag{\text{A}}
また、3次元曲座標(r, \theta, \varphi)の計量テンソルは先程求めたように以下のように表されました。

\begin{align*}
    g_{ij} =
    \begin{pmatrix}
        1 & 0 & 0\\
        0 & r^2 & 0 \\
        0 & 0 & r^2\sin^2\theta
    \end{pmatrix}
\end{align*}
行列式を求めておくと、

|g| = r^4\sin^2\theta 
となります。

また、計量テンソルの逆行列g^{ij}はg_{ij}がもうすでに対角行列になっているので簡単に求めることができて、以下のようになります。

\begin{align*}
    g^{ij} = 
    \begin{pmatrix}
        1 & 0 & 0\\
        0 & \dfrac{1}{r^2} & 0\\
        0 & 0 & \dfrac{1}{r^2\sin^2\theta} 
    \end{pmatrix}
\end{align*}
これらを(A)に代入すると、

\begin{align*}
    \Delta &= \frac{1}{r^2 \sin\theta}\left( \frac{\partial}{\partial r} \left( r^2\sin\theta \frac{\partial}{\partial r} \right) 
    + \frac{\partial}{\partial \theta} \left( r^2\sin^2\theta \cdot \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial \theta}\right) 
    + \frac{\partial}{\partial \varphi} \left( r^2\sin^2\theta \cdot \frac{1}{r^2\sin^2\theta} \frac{\partial}{\partial \varphi} \right) \right)\\
    &= \frac{1}{r^2 \sin\theta}\left( \sin\theta\frac{\partial}{\partial r} \left( r^2 \frac{\partial}{\partial r} \right) 
    + \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \sin^2\theta  \frac{\partial}{\partial \theta}\right) 
    + \frac{\partial}{\partial \varphi} \left( \frac{\partial}{\partial \varphi} \right) \right)\\
    &= \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left( r^2 \frac{\partial}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2\sin^2\theta}\left( \sin^2\theta \frac{\partial}{\partial\theta}\right) + \frac{\partial^2}{\partial \varphi^2}
\end{align*}
となって求めたかった曲座標のラプラシアンを求めることができました。

一度愚直に手計算したことがある人は、方針がすっきりしていて計算しやすいと思います。
これの続きの話として以下のような記事を書いたので、まだ読んだことのない人は是非読んでみてください。

https://zenn.dev/ryanphys/articles/66492fe931ac3e

 参考文献 参考サイト脚注にも記載していますが、動画や画像を貼っておきます。
極座標ラプラシアンの導出(気合いの手計算ver.)
https://youtu.be/NEI-U0aF3nY?si=SkR1cL5duvbTrEv6
情報幾何学の基礎, 藤原彰夫, 2021, 共立出版


脚注
極座標ラプラシアンの導出(気合いの手計算ver.) ↩︎
計量テンソル ↩︎
情報幾何学の基礎, 藤原彰夫, 2021, 共立出版 ↩︎
計量テンソルを用いた極座標ラプラシアンの導出

はじめに

計量テンソルを用いた極座標ラプラシアンの導出

アインシュタインの縮約

計量テンソルとは

ヤコビアンと計量テンソルの関係

曲がった座標系での発散と勾配、ラプラシアン

3次元曲座標の単位ベクトルと計量テンソル

３次元曲座標ラプラシアンの計算

参考文献参考サイト

Discussion

はじめに

計量テンソルを用いた極座標ラプラシアンの導出

アインシュタインの縮約

計量テンソルとは

ヤコビアンと計量テンソルの関係

曲がった座標系での発散と勾配、ラプラシアン

3次元曲座標の単位ベクトルと計量テンソル

３次元曲座標ラプラシアンの計算

参考文献 参考サイト

Discussion

参考文献参考サイト
