統計学にも使えそうなEinsteinの和の縮約
電磁気学や相対論などで用いられることが多いですが、自身が勉強しているときに数理統計学との相性も良いように感じました。自分の知る限りでは、論文などでは用いられていません。
(用いられているものを知っている方がいればご紹介していただきたいです。)
しかし、スコア関数の時に用いるベクトルでの微分や、重回帰分析や分散分析などの一般線形モデルについての演習問題を解いたり、自身でて計算を行ったりする際にはとても有用なツールであると思います。
非物理学科の人にとって、Einsteinの和の縮約は馴染みのないものだと思いますので、今回は、その使い方などを紹介してみようと思います。
今度、自分自身が統計学において、どのような時にこのEinsteinの和の縮約を用いたのか紹介してみようと思います。
クロネッカーのデルタ\delta_{ij}とレヴィ・チヴィタ記号\varepsilon_{ijk}
サラッと紹介だけしておくことにします。
クロネッカーのデルタ\delta_{ij}
以下のような記号をクロネッカーのデルタと言います。
定義関数と少し似ています。
\delta_{ij} =
\begin{cases}
0 \quad \text{if} \, i \not= j,\\
1 \quad \text{if} \, i = j.
\end{cases}
レヴィ・チヴィタ記号\varepsilon_{ijk}
以下のような記号をレヴィ・チヴィタ記号または、エディントンのイプシロンと呼びます。
\varepsilon_{ijk} =
\begin{cases}
+1 \quad &\text{if} \, (i,j,k) \, \text{is} \, (1,2,3),(2,3,1), \, \text{or} \, (3,1,2)\\
-1 \quad &\text{if} \, (i,j,k) \, \text{is} \, (3,2,1),(1,3,2), \, \text{or} \, (2,1,3)\\
0 \quad &\text{if} \, i = j, \, \text{or} \, j = k, \text{or} \, k = i
\end{cases}
以下のようなものをイメージすると理解しやすいです。
Wikipediaより引用
Einsteinの和の縮約
前置きが長くなりましたが、Einsteinの和の縮約の計算方法について紹介します。
まず使い方について説明した後、ベクトル解析の公式の証明をEinsteinの和の縮約を用いた証明方法を紹介しようと思います。
\bm{e_i}\cdot\bm{e_j} = \delta_{ij}
\bm{e}_j\times \bm{e}_k = \varepsilon_{ijk}\bm{e}_i
\bm{A}\cdot\bm{B} = A_i B_i\\
\bm{A}\times\bm{B} = \varepsilon_{ijk}\bm{e}_iA_kB_j
- 勾配(gradient)、発散(divergence)、回転(rotation)、ラプラシアン(Laplacian)
\nabla f = \bm{e}_i \partial_i f\\
\nabla \cdot \bm{A} = \partial_i A_i
\nabla \times \bm{A} = \varepsilon_{ijk}\bm{e}_i \partial_j A_k
\nabla^2 f = \partial_i^2f
\varepsilon_{ijk} = -\varepsilon_{kij}
\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{imn} = \delta_{jm}\delta_{kn} - \delta_{jn}\delta_{km}
[\bm{e}_jA_i B_j C_k]_\ell = A_iB_{\ell}C_k
練習問題
上の計算規則とテクニックがあれば、面倒であったベクトル公式の証明や計算を簡略に書くことができます。
計算方針ですが、ベクトルのまま計算するものと、成分にして計算を行ったのちにベクトルに戻すという二通りの計算の方法があります。
計算過程を見ていけばこの意味が理解できると思います。
また、添字は出てきた順に新しいものを振っていきます。
- \nabla(fg) = (\nabla f) g + f (\nabla g)
\begin{align*}
\nabla(fg) &= \bm{e}_i\partial_i(fg)\\
&= \bm{e}_i((\partial_i f) + f(\partial_i g))\\
&= (\nabla f) g + f (\nabla g)
\end{align*}
- \nabla \cdot (f\nabla) = (\nabla f) \cdot (\nabla g) +f\nabla^2g
\begin{align*}
\nabla \cdot (f\nabla) &= \nabla \cdot (f\bm{e}_i\partial_i g)\\
&= \partial_j[f \bm{e}_i \partial_i g]_j\\
&= \partial_j[f \partial_j g]\\
&= (\partial_j f)(\partial_j g) + f(\partial_j^2g)\\
&= (\nabla f)(\nabla g) + f\nabla^2g
\end{align*}
- \nabla \times (\nabla \times \bm{A}) = -\nabla^2 \bm{A} + \nabla(\nabla \cdot\bm{A})
\begin{align*}
\nabla \times (\nabla \times \bm{A}) &= \nabla \times (\varepsilon_{ijk}\bm{e}_i\partial_jA_k)\\
&= \varepsilon_{lmn}\bm{e}_l\partial_m[\varepsilon_{ijk}\bm{e}_i\partial_jA_k]_n\\
&=\bm{e}_l\varepsilon_{lmn}\varepsilon_{njk}\partial_m\partial_jA_k\\
&= -\bm{e}_l\varepsilon_{nml}\varepsilon_{njk}\partial_m\partial_jA_k\\
&= -\bm{e}_l(\delta_{ml}\delta_{lk}-\delta_{mk}\delta_{lj})\partial_m\partial_jA_k\\
&=-\bm{e}_l\delta_{mj}\partial_m\partial_j\delta_{lk}A_k
+ \bm{e}_l\delta_{mk}\partial_m\delta_{lj}\partial_jA_k\\
&= -\bm{e}_l\partial_j\partial_jA_l + \bm{e}_l\partial_k \partial_l A_k\\
&= -\nabla^2 \bm{A} + \nabla(\nabla \cdot\bm{A})
\end{align*}
- \nabla \times (\nabla f) = 0
\begin{align*}
\nabla \times (\nabla f) &= \nabla \times (\bm{e}_i\partial_i f)\\
&= \varepsilon_{jkl}\bm{e}_j\partial_k[\bm{e}_i\partial_i f]_l\\
&= \varepsilon_{jkl}\bm{e}_j\partial_k\partial_lf \tag{A}\\
&= \varepsilon_{jlk}\bm{e}_j\partial_l\partial_kf \quad (\small{添字の変更(置換は行っていない)})\\
&= -\varepsilon_{jkl}\bm{e}_j\partial_k\partial_lf \tag{B}
\end{align*}
\therefore \nabla \times (\nabla f) = 0 \quad (\because (\text{A})と(\text{B})の比較)
どうでしょうか？慣れるのには時間がかかりますが、慣れてしまえばすっきりとした計算を行えると思います。
参考サイト
クロネッカーのデルタ
Kronecker delta
エディントンのイプシロン
Levi-Civita symbol
Discussion