今回は、前回のラドン変換を用いて表される、フーリエスライスの定理についてみていこうと思います。
まだ前回の記事を見ていない方はこちらへ
https://zenn.dev/ryanphys/articles/8ab8340aa39d11
フーリエスライスの定理とは？
フーリエスライスの定理とは、2次元のフーリエ変換が1次元のフーリエ変換とラドン変換を用いて表す事ができるという定理です。早速、定理をみてみましょう。
フーリエスライスの定理
f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}について、以下が成り立つ。
\begin{align*}
\mathscr{F}^2[f](\xi\cos\theta, \xi\sin\theta) = \mathscr{F}[\mathscr{R}[f]](\xi, \theta) \tag{eq1}
\end{align*}
ここで、\mathscr{F}^2は2次元フーリエ変換、\mathscr{F}は1次元フーリエ変換、\mathscr{R}はラドン変換である。
形をみると、2次元のフーリエ変換がラドン変換と1次元フーリエ変換を用いて表されています。
また、関数fについてはz = f(x, y)のようなものに対して適応できると言っています。
証明へ
ここからは上の定理が確かに成り立つことを証明していきたいです。
その前に、フーリエ変換やラドン変換がどのようなものであったか見ていきましょう。
フーリエ変換
n次元のものを考えることにします。今回は2次元と1次元鹿出てきませんので、ベクトルの次元をそれぞれ1、2としていただければ良いです。
\mathscr{F}[f](\bm{k}) = \int_{\mathbb{R}^n}f(\bm{x})e^{-i\bm{k}\cdot\bm{x}}\mathrm{d}\bm{x}
ラドン変換
前回の記事を見てくれた人にとってはくどいかもしれませんが、一応紹介しておきます。
上のフーリエ変換とは関数fは別物です。
\mathscr{R}[f](s,\theta) = \int_{-\infty}^{\infty} f(s\cos\theta -t\sin\theta, \, s\cos\theta+ t\sin\theta)\mathrm{d}t
ここで、iは虚数単位です。
証明
それでは証明していきましょう。(eq1)の左辺を具体的に計算していきます。
\begin{align*}
\mathscr{F}^2[f](\xi\cos\theta, \xi\sin\theta) &= \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} f(x, y)e^{-i(\xi\cos\theta \cdot x + \xi\sin\theta \cdot y)}\mathrm{d}x\mathrm{d}y\\
&= \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} f(x, y)e^{-i\xi(\cos\theta \cdot x + \sin\theta \cdot y)}\mathrm{d}x\mathrm{d}y
\end{align*}
ここで、曲座標変換(x,y) \mapsto (s,t)を考えることにより、
\begin{cases}
s = x\cos\theta + y\sin\theta \\
t = -x\sin\theta + y\cos\theta
\end{cases}
逆変換は、
\begin{cases}
x = s\cos\theta - t\sin\theta \\
y = s\sin\theta + t\cos\theta
\end{cases}
を得られる。また、この時のヤコビアンは1なので、
\begin{align*}
\text{(RHS)} &= \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f( s\cos\theta - t\sin\theta ,s\sin\theta + t\cos\theta )e^{-i\xi s}\mathrm{d}t\mathrm{d}s\\
&= \int_{-\infty}^{\infty} \mathscr{R}[f](s, \theta)e^{-i\xi s}\mathrm{d}s\\
&= \mathscr{F}[\mathscr{R}[f]](s, \theta) \quad \Box
\end{align*}
最後の式変形はラドン変換の定義とフーリエ変換の定義を用いました。
無事、以下を示す事ができました！
\mathscr{F}^2[f](\xi\cos\theta, \xi\sin\theta) = \mathscr{F}[\mathscr{R}[f]](\xi, \theta)
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