課題

（その１）では、 $k=0$ はカウントしなかったが、やっぱり $k=0$ も入れ込みたいケースがあるので、それに対応したい。

対応策。

$w(0)=1$ , $\forall x \ge 1:~w(x) = x$ なる関数 $w$ を用意する。たとえば、

w(x) = \max(1, x)

を導入して、

\ln x! \approx w(x) \ln w(x) - w(x) + \frac{1}{2} \ln 2\pi w(x) + \frac{1}{12w(x)}

をスターリング近似式の亜種として採用する。

表記の簡単のため、 $k_i' = w(k_i)$ と書く。

Factorial trickに注意して計算を進めると：

\ln W = - N \sum_i q_i \ln q_i - \frac{r-1}{2} \ln 2\pi N + r_0 + \frac{1}{2} Q_1' + \frac{1}{12N} Q_2'

ここで、 $r_0$ はゼロをとる $k$ の個数であり：

Q_1' = - \sum_i \ln q_i'

Q_2' = 1 - \sum_i \frac{1}{q_i'}

である。ただし、

q_i' = \frac{k'_i}{N} = \frac{k_i}{N} + \delta_{k_i, 0} \frac{1}{N} = q_i + \frac{\delta_{k_i, 0}}{N}

$\delta$ はクロネッカーのデルタ。以降、簡単のために $\delta_i := \delta_{k_i, 0}$ と書く。

前回の記事を見比べると、

が具体的な変更点になっている。前回と引き続き、非ゼロなkのインデックス集合：

\Lambda = \{i~|~ k_i \ge 1\}

を使うと、

Q_1' = - \sum_{i \in \Lambda} \ln q_i - \sum_{i \notin \Lambda} \ln \frac{1}{N} = Q_1 + r_0 \ln N

および、

Q_2' = 1 - \sum_{i \in \Lambda} \frac{1}{q_i} - \sum_{i \notin \Lambda} N = Q2 - r_0 N

よって、非ゼロ値に制限したときと比べて、いくつかの項が発生して：

\begin{split} \ln W &= - N\sum_i^r q_i \ln q_i - \frac{r-1}{2} \ln 2\pi N + \frac{1}{2} Q_1 + \frac{1}{12N} Q_2 + r_0 \left( \frac{1}{2} \ln N + \frac{11}{12} \right) \end{split}

が最終的な答えになる。

さて、少し睨むと

\left| \frac{1}{2} \ln 2\pi - \frac{11}{12} \right| \le 0.002272

であることに気づいて、

\begin{split} \ln W &= - N\sum_i^r q_i \ln q_i - \frac{r_p - 1}{2} \ln 2\pi N + \frac{1}{2} Q_1 + \frac{1}{12N} Q_2 - \frac{r_0}{2} \ln {2 \pi e^{- \frac{11}{6} }} \end{split}

と、前回の議論の結果にゼロ値に対する小さな補正項がつく結果にまとめることができる。

ここで、非ゼロなkの個数を $r_p := r - r_0$ と定義した。また、

\ln {2 \pi e^{- \frac{11}{6} }} \approx 0.00454373307601

であり、求める精度によっては落としてもよい。

続く

その３では、Q1とQ2を総合してその範囲を求めていきます。