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【統計学】負の二項分布

2025/06/19に公開

負の二項分布（Negative Binomial Distribution）

幾何分布を一般化した分布。

幾何分布

成功確率 $p$ の独立なベルヌーイ試行を繰り返すとき、はじめて成功するまでに失敗した回数が従う分布。
幾何分布の詳細は以下の記事を参照。

負の二項分布

成功確率 $p$ の独立なベルヌーイ試行を繰り返すとき、 $r$ 回目に成功するまでに失敗した回数が従う分布。（幾何分布（ $r=1$ ）の一般化。）

$Y$ ~ $NB(r,p)$ と表す。

1. 確率関数

$r$ 回目に成功するまでに失敗した回数を $Y$ とする。 $Y=y$ のとき、試行の回数は $(r+y)$ 回。
$r+y$ 回目は成功で、 $r+y-1$ 回目までの間に $r-1$ 回成功、 $y$ 回失敗するので、確率変数は

P(Y=y)=\frac{(y+r-1)!}{(r-1)!y!}p^r(1-p)^y\quad(y=0,1,2,\cdots)

一般二項係数を用いて表すと

P(Y=y)={}_{y+r-1}C_yp^r(1-p)^y=\binom{y+r-1}{y}p^r(1-p)^y\quad(y=0,1,2,\cdots)

一般二項係数

自然数に限らず、任意の実数や複素数に対しても定義される二項係数のこと。

\binom{r}{k}=\begin{equation*}\left\{\begin{align*}&\frac{r(r-1)\cdots(r-k+1)}{k!}\quad(k=1,2,\cdots)\\&1\quad(k=0)\\&0\quad(k=-1,-2,\cdots)\end{align*}\right.\end{equation*}

r

が自然数（

n

）で

0\le k\le r

のとき、二項係数と一致する。

二項係数

異なる $n$ 個のものから $k$ 個を選ぶ組合せの数。

{}_nC_k=\frac{n!}{k!(n-k)!}

確率関数の和が1になることの証明

(1-x)^{-n}=\Sigma_{k=0}^{\infty}\binom{k+n-1}{k}x^k\cdots(1)

に $k=y$ , $x=1-p$ , $n=r$ を代入すると

p^{-r}=\Sigma_{y=0}^{\infty}\binom{y+r-1}{r}(1-p)^y

両辺に

p^r

を掛けると

1=\Sigma_{y=0}^{\infty}\binom{y+r-1}{r}p^r(1-p)^y

右辺は

NB(r,p)

の取りうるすべての

y

についての和。

(1)式の説明

関数 $f(x)$ の $x=a$ におけるテイラー展開は

\begin{align*}&f(x)=\Sigma_{k=0}^{\infty}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k\\&=f(a)+f^{(1)}(a)(x-a)+\frac{f^{(2)}(a)}{2!}(x-a)^2+\cdots\end{align*}

ここで

f^{(k)}(a)

は

f(x)

を

k

回微分して

x

に

a

を代入した値。
特に

a=0

のときのテイラー展開をマクローリン展開という。

$f(x)=(1-x)^{-n}$ のマクローリン展開は
$\begin{align*}&f^{(1)}(x)=-n(1-x)^{-n-1}(-1)=n(1-x)^{-n-1}\\&f^{(2)}(x)=n(n+1)(1-x)^{-n-2}\\&\cdots\\&f^{(k)}(x)=n(n+1)\cdots(n+k-1)(1-x)^{-n-k}\end{align*}$
$f(x)$ を $k$ 回微分した式に $a=0$ は
$f^{(k)}(0)=n(n+1)\cdots(n+k-1)$
よって、 $f(x)$ のマクローリン展開は
$\begin{align*}&f(x)=\Sigma_{k=0}^{\infty}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k\\&=\Sigma_{k=0}^{\infty}\frac{n(n+1)\cdots(n+k-1)}{k!}x^k\\&=\Sigma_{k=0}^{\infty}\binom{n+k-1}{k}x^k\end{align*}$
したがって $f(x)=(1-x)^{-n}=\Sigma_{k=0}^{\infty}\binom{n+k-1}{k}x^k$

2. 期待値と分散

幾何分布との関係

$X_1,X_2,\cdots,X_r$ ~ $Geo(p)$ かつ独立のとき、 $Y=X_1+X_2+\cdots+X_r$ ~ $NB(r,p)$

幾何分布と負の二項分布の関係の証明

$Y_r=X_1+X_2+\cdots+X_r$ の確率関数が $NB(r,p)$ の確率関数であると仮定する。
このとき $Y_{r+1}=X_1+X_2+\cdots+X_r+X_{r+1}$ の確率関数が $NB(r+1,p)$ の確率関数であることを示す。
$Y_{r+1}=y$ となるのは、 $(Y_r=0,X_{r+1}=y),(Y_r=1,X_{r+1}=y-1),\cdots,(Y_r=y,X_{r+1}=0)$ の $y+1$ 通り。
よって、 $Y_{r+1}=y$ となる確率は、

P(Y_{r+1}=y)=\Sigma_{k=0}^yP(Y_r=k,X_{r+1}=y-k)

Y_r

と

X_{r+1}

は独立なので、

=\Sigma_{k=0}^yP(Y_r=k)\Sigma_{k=0}^yP(X_{r+1}=y-k)

ここで、

P(Y_r=k)

は

r

回成功するまでに失敗する回数

Y_r

が

k

回となる確率だから

P(Y_r=k)={}_{r+k-1}C_{k}p^r(1-p)^k

また、

P(X_{r+1}=y-k)

ははじめて成功するまでに

y-k

回失敗する確率だから

P(X_{r+1}=y-k)=p(1-p)^{y-k}

よって

\begin{align*}P(Y_{r+1}=y)&=\Sigma_{k=0}^y{}_{r+k-1}C_{k}p^r(1-p)^k\Sigma_{k=0}^yp(1-p)^{y-k}\\&=p^{r+1}(1-p)^y\Sigma_{k=0}^y{}_{r+k-1}C_k\end{align*}

ここで

\Sigma_{k=0}^y{}_{r+k-1}C_k={}_{y+r}C_y\cdots(2)

なので

P(Y_{r+1}=y)={}_{y+r}C_yp^{r+1}(1-p)^y

右辺は

NB(r+1,p)

の確率関数。
また、

Y_1=X_1

の確率関数は

NB(1,p)

の確率関数と一致する。
よって帰納法により示された。

(2)式の証明

\Sigma_{k=0}^y{}_{r+k-1}C_k={}_{y+r}C_y\cdots(2)自然数rが固定されているとする。

y=1のとき

\sum\limits_{k=0}^1{}_{k+r-1}C_k={}_{r-1}C_0+{}_{r}C_1=1+r

また、

{}_{1+r}C_1=1+r

より(2)式は成り立つ。
(2)式を仮定し、\sum\limits_{k=0}^{y+1}{}_{r+k-1}C_k={}_{y+1+r}C_{y+1}を示す。

\begin{align*}\sum\limits_{k=0}^{y+1}{}_{r+k-1}C_k&=\sum\limits_{k=0}^{y}{}_{r+k-1}C_k+{}_{r+y}C_{y+1}\\&={}_{y+r}C_y+{}_{r+y}C_{y+1}\\&=\frac{(y+r)!}{y!r!}+\frac{(r+y)!}{(y+1)!(r-1)!}\\&=\frac{(y+r)!(y+1)}{(y+1)!r!}+\frac{(y+r)!r}{(y+1)!r!}\\&=\frac{(y+r)!(y+1+r)}{(y+1)!r!}\\&=\frac{(y+1+r)!}{(y+1)!r!}={}_{y+1+r}C_{y+1}\end{align*}

よって帰納法により示された。

期待値： $\begin{align*}&E[Y]=E[X_1+X_2+\cdots+X_r]\\&=E[X_1]+E[X_2]+\cdots+E[X_r]\\&=\frac{r(1-p)}{p}\end{align*}$
分散:
$V[Y]=V[X_1+X_2+\cdots+X_r]$
$X_1,X_2,\cdots,X_k$ は独立より、 $\begin{align*}&=V[X_1]+V[X_2]+\cdots+V[X_r]\\&=\frac{r(1-p)}{p^2}\end{align*}$