【統計学】幾何分布

幾何分布（Geometric Distribution）

ベルヌーイ試行を繰り返すとき、はじめて成功するまでに失敗する回数$X$が従う分布。
$X$~$Geo(p)$と表す。

ベルヌーイ試行：結果が２通りで成功確率が一定($p$)の試行

1.確率関数

はじめて成功するまでに失敗する回数を$X$とおくと、確率関数$f(x)\ge0$,$\Sigma_xf(x)=1$は、成功する確率を$p$として

$$f(x)=(1-p)\cdot(1-p)\cdot\cdots \cdot p=p(1-p)^x$$

$$f(x)=P(X=x)=p(1-p)^x\quad(x=0,1,2,\cdots)$$

2.期待値と分散

• 期待値：
  $$E[X]=\frac{1-p}{p}$$

期待値の導出

無限等比級数

等比数列

隣り合う2項の比が一定（＝公比）で前の項に公比を掛けて次の項が求められる数列のこと。

$$a, ar, ar^2,\cdots$$

$$\begin{equation*}\left\{\begin{align*}a:初項\\r:公比\end{align*}\right.\end{equation*}$$

• 初項から第$n$項までの和
  $$S_n=a+ar+ar^2+\cdots+ar^{n-1}$$
  • 両辺に$r$を掛けた
    $$rS_n=ar+ar^2+ar^3+\cdots+ar^{n-1}+ar^n$$
    を差し引くと
    $$(1-r)S_n=a-ar^n$$
    よって
    $$S_n=\frac{a(1-r)^n}{1-r}$$

無限等比級数

無限等比数列の和をさす。

$$\Sigma_{k=1}^{\infty}ar^{k-1}=\lim_{n\to \infty}\Sigma_{k=1}^n ar^{k-1}=\lim_{n\to \infty}S_n=\lim_{n\to \infty}\frac{a(1-r^n)}{1-r}$$

$-1\le r \le 1$のとき

$$=\frac{a}{1-r}$$

等差×等比数列の和の計算の例

以下のような等差数列（初項1、公差2）と等比数列（初項3、公比3）の和を考える。

$$1\cdot3,3\cdot3^2,5\cdot3^3$$

第10項までの和を$S_{10}$とすると

$$S_{10}=1\cdot3+3\cdot3^2+\cdots+19\cdot3^{10}$$

両辺に公比$3$を掛けて

$$3S_{10}=1\cdot3^2+3\cdot3^3+\cdots+17\cdot3^{10}+19\cdot3^{11}$$

両辺差し引くと

$$-2S_{10}=1\cdot3+2\cdot3^2+2\cdot3^3+\cdots+2\cdot3^{10}-19\cdot3^{11}$$

右辺第2項から第10項までは初項3^2,公比3の等比数列の第9項までの和に2を掛けた値に等しいから、

$$=1\cdot3+2\frac{3^2(1-3^9)}{1-3}-19\cdot3^{11}$$

と計算できる。

期待値の導出

確率関数$f(x)=p(1-p)^x$より期待値$E[X]$は

$$\begin{align*}&E[X]=\Sigma_xxf(x)=\Sigma_xxp(1-p)^x\\&=p(1-p)+2p(1-p)^2+3p(1-p)^3+\cdots\\&=pq+2pq^2+3pq^3+\cdots\end{align*}$$

ただし、$q=1-p$。
ここで

$$S=pq+2pq^2+3pq^3+\cdots$$

とおくと、これは等差×等比数列の和になっている（初項1、公差1の等差数列×初項$pq$,公差$q$の等比数列）。
両辺に公差qを掛けて

$$qS=pq^2+2pq^3+3pq^4\cdots$$

両辺差し引くと

$$(1-q)S=pq+pq^2+pq^3+pq^4+\cdots$$

左辺の$q$を$p$に直すと

$$pS=pq+pq^2+pq^3+pq^4\cdots$$

両辺を$p$で割ると

$$S=q+q^2+q^3+q^4+\cdots$$

$S$は初項$q$、公差$q$の無限等比級数かつ$0\le q\le 1$より

$$S=\frac{q}{1-q}=\frac{1-p}{p}$$

よって

$$E[X]=\frac{1-p}{p}$$

• 分散：
  $$V[X]=\frac{1-p}{p^2}$$

分散の導出

分散の導出

$$\begin{align*}&V[X]=E[(x-E[X])^2]=\Sigma_x(x-E[X])^2f(x)=\Sigma_x(x^2-2xE[X]+(E[X])^2)f(x)\\&=\Sigma_xx^2f(x)-2E[X]\Sigma_xxf(x)+(E[X])^2\\&=\Sigma_xx^2f(x)-2(E[X])^2+(E[X])^2\\&=E[X^2]-(E[X])^2\end{align*}$$

ここで

$$\begin{align*}&E[X^2]=\Sigma_xx^2f(x)=\Sigma_xx^2p(1-p)^x\\&=1^2p(1-p)+2^2p(1-p)^2+3^2+p(1-p)^3+\cdots\\&=1\cdot p(1-p)+4\cdot p(1-p)^2+9\cdot p(1-p)^3+\cdots\\&=1\cdot pq+4\cdot pq^2+9\cdot pq^3+\cdots\end{align*}$$

$$T=1\cdot pq+4\cdot pq^2+9\cdot pq^3+\cdots$$

とおく。両辺に$q$を掛けて

$$qT=pq^2+4\cdot pq^3+9\cdot pq^4+\cdots$$

両辺差し引くと

$$(1-q)T=pT=pq+3\cdot pq^2+5\cdot pq^3+\cdots$$

$$T=q+3\cdot q^2+5\cdot q^3+7\cdot q^4+\cdots$$

これは等差×等比数列の和になっている（初項1,公差2の等差数列×初項$q$、公差$q$の等比数列）。両辺にqを掛けて

$$qT=q^2+3\cdot q^3+5\cdot q^4+\cdots$$

両辺差し引くと

$$(1-q)T=pT=q+2q^2+2q^3+2q^4+\cdots$$

右辺第2項以降は初項2q^2,公差qの無限等比級数で、$0\le q\le1$より収束し

$$=q+\frac{2q^2}{1-q}$$

よって

$$T=\frac{q}{1-q}+\frac{2q^2}{(1-q)^2}=\frac{q(1-q)}{(1-q)^2}+\frac{2q^2}{(1-q)^2}=\frac{q-q^2+q^2}{(1-q)^2}=\frac{q(1+q)}{(1-q)^2}=\frac{(1-p)(2-p)}{p^2}$$

$V[X]$の式に代入して

$$\begin{align*}&V[X]=E[X^2]-(E[X])^2\\&=\frac{(1-p)(2-p)}{p^2}-\left(\frac{1-p}{p}\right)^2\\&=\frac{(1-p)(2-p)}{p^2}-\frac{(1-p)^2}{p^2}=\frac{(1-p)(2-p-(1-p))}{p^2}=\frac{1-p}{p^2}\end{align*}$$

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